文档介绍：微分方程稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
(1)
右端不含字变量t,称为自治方程. 代数方程
f(x) = 0 (2)
的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它也是(1)的解(奇解).
如果存在某个邻域,使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发,满足
(3)
则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定); 否则,称x0是不稳定的(不渐进稳定).
判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解x(t),因而不利用(3)式的方法称直接法. 下面介绍直接法.
将f(x)在x0点作Taylor展开,只取一次项,方程(1)近似为
, (4)
(4)称为(1)的近似线性方程,x0也是方程(4)的平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论:
若f '(x0) < 0,则x0对于方程(4)和(1)都是稳定的;
若f '(x0) > 0,则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的.
x0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明:记f '(x0) = a,则(4)的一般解为
x(t) = ceat + x0 (5)
其中常数c由初始条件确定,显然,a < 0时(3)式成立.
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表为
(6)
右端不显含t,是自治方程. 代数方程组
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点,记作P0(x10, x20).
如果存在某个邻域,使方程(6)的解x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0))出发,满足
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则,称P0是不稳定的(不渐进稳定).
先看线性常系数方程
(9)
(非齐次方程组,可用平移的方法(x1 = u1 + c1, x2 = u2 + c2)化为齐次方程组)
系数矩阵记作
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定性,假定A的行列式
detA ¹ 0 (11)
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程
det(A - lI) = 0 (12)
的根l(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰的形式
(13)
将特征根记作l1, l2,则
(14)
方程(9)的一般解具有形式或,c1, c2为任意常数. (注:课本p199误为)
按照稳定性的定义(8)式可知,当l1, l2均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平衡点; 而当l1, l2有一个为正数或有正实部时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下l1, l2均不为零.
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则:
若 p > 0, q > 0,则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0,则平衡点不稳定.
对一般的非线性方程(6),仍可在平衡点作一次Taylor展开,得常系数的近似线性方程来讨论.
军备竞赛
两个国家或国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的军事力量,防御对方可能发动的战争. 本节介绍L. F. Richardson