文档介绍：1. 描述范德堡方程的二阶微分方程(质量-弹簧-阻尼器系统)为:
( 、和为正常数,分析该系统的特点),非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持续振荡。极限环代表了非线性系统的一种重要现象,分有害和有益两种情况,应分别对待。采用搭接Simulink 结构图的方法和编写m函数的方法分别对其进行仿真实验。
方法一:Simulink 结构图
实验结果为:

所以非线性系统产生了极限环。
2. 为下面系统找一个平衡点,并确定稳定性,指出稳定性是否为渐近的以及是否为全局的?
(1)
(2)
解:(1),x=0; 平衡点(0,0),线性化结果为:,不能由线性化说明系统稳定性性质。
(2),x=5,平衡点(5,0),线性化结果为,不能由线性化说明系统稳定性性质。
已知,其中和是可测量的状态,
m= b=2,跟踪目标是,其中
可能的控制器设计方案之一:
a和k为控制器增益,r为复合误差
证明定理:控制器在以下函数下提供一个全局稳定的跟踪
解:取函数
求导得出:,因为
所以,
代入求出:
又因为:;;
所以
又因为,代入上式
求得:
因为:
代入上式,求得

所以
又有
所以
解得
因为;
求解方程,即得:
定理证毕。根据分析,对上述系统做仿真实验。
仿真图及运行结果如下图所示
误差曲线如下图所示。
考查系统
式中(i=1,2,3)为正定对称矩阵。均为n维向量,证明系统是全局渐进稳定的,且0是系统的唯一平衡点。
证明:设
所以

,所以,故系统的平衡点是(0,0),其中0为向量。
下面证明系统是全局渐进稳定的。
设, ,其中均为对称矩阵。
由
所以有:
=
因为为正定对称矩阵
所以上式等于
所以
以上均为对称矩阵,故存在正定使,
而且,所以系统是全局渐