文档介绍：第六章主成分分析与因子分析
主成分分析
因子分析
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主成分分析
主成分分析的概念与步骤
使用INSIGHT模块作主成分分析
使用“分析家”作主成分分析
使用PRINCOMP过程进行主成分分析
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主成分分析的概念与步骤
1. 主成分分析基本思想
主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标（比如p个指标），重新组合成一组新的互不相关的综合指标来代替原来指标。通常数学上的处理就是将原来p个指标作线性组合，作为新的综合指标。但是这种线性组合，如果不加限制，则可以有很多，应该如何去选取呢？
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在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合。为了有效地反映原有信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1，F2)＝0。称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四、…、第p个主成分。
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2. 主成分分析的数学模型
设有n个样品（多元观测值），每个样品观测p项指标（变量）：X1，X2，…，Xp，得到原始数据资料阵：
其中Xi = (x1i，x2i，…，xni)'，i = 1，2，…，p。
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用数据矩阵X的p个列向量（即p个指标向量）X1，X2，…，Xp作线性组合，得综合指标向量：
简写成：
Fi = a1iX1 + a2iX2 +…+apiXp i = 1，2，…，p
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为了加以限制，对组合系数ai' = (a1i，a2i，…，api)作如下要求：
即：ai为单位向量：ai'ai = 1，且由下列原则决定：
1) Fi与Fj（i≠j, i, j = 1, …, p）互不相关，即Cov(Fi，Fj) = ai'ai = 0，其中Σ是X的协方差阵。
2) F1是X1，X2，…，Xp的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的，即
，其中c = (c1，c2，…，cp)'
F2是与F1不相关的X1，X2，…，Xp一切线性组合中方差最大的，…，Fp是与F1，F2，…，Fp-1都不相关的X1，X2，…，Xp的一切线性组合中方差最大的。
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满足上述要求的综合指标向量F1，F2，…，Fp就是主成分，这p个主成分从原始指标所提供的信息总量中所提取的信息量依次递减，每一个主成分所提取的信息量用方差来度量，主成分方差的贡献就等于原指标相关系数矩阵相应的特征值i，每一个主成分的组合系数
ai' = (a1i，a2i，…，api)
就是相应特征值i所对应的单位特征向量ti。方差的贡献率为，i越大，说明相应的主成分反映综合信息的能力越强。
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3. 主成分分析的步骤
(1) 计算协方差矩阵
计算样品数据的协方差矩阵：Σ = (sij)pp，其中
i，j = 1，2，…，p
(2) 求出Σ的特征值及相应的特征向量
求出协方差矩阵Σ的特征值12…p>0及相应的正交化单位特征向量：
则X的第i个主成分为Fi = ai'X i = 1，2，…，