文档介绍：爱因斯坦求和约定
变量的集合：
■X］，七，…，%
必丿2,…，儿
表示为：
X-, z = 1,2,3,...，z?
y,丿=1，2,3 …，〃
写在字符右下角的指标，例如xi中的i称为下标。写在字符右 上角的指标，例如yj中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不 同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取 从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。
若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示 要对这个指标遍历其范围1, 2, 3, ...n求和。这是一个约定，称为 求和约定。
例如：
4兀+仆+ 4兀=9
A" + 4^2 + 4-^3 = Q
A" + 人2无2 + 4^3 = Q
筒写为:
A..x. =b
U J z
j——哑指标
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同
遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标"或“伪标"。不求 和的指标称为自由指标。
Kronecker-8符号(克罗内克符号)和置换符号
Kronecker-8符号定义
5 " 41 严
ji ij [o 当j
置换符号e^=e，ik定义为：
'1 当 i,j,k 是1,2,3 的偶置换(123,231,312)
eijk =eijk=\-l 当门上是1,2,3的奇置换(213,132,321)
0 当i,j,k的任意二个指标任意
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
Cly Cl? ^^3 aj盃居
3 3 3
Q]
恥运+必富+ a逐居
因此有:
3
Q
3
+
2
Q
2
4+
•J
A,
3
-
3
• )3
+
、22
+
-5”
I W
5
巧
I ^nv5
W-
5
*Q
3
3
Q
+
22Q + £
Q"
• I "MVQ
• I
5Q,
—
ijk
zl
z2
4
—
zl
£
JI
J 2
z2
6
£
1X
—
321
—
0
0
I
0
I
0
I
0
0
«1
4
6
叽=
J1
X
6
2+炖
zl p\ i2 p2
+ 5 5
i3 p3
二讷
=5
ip
8
ip
d
iq
8
ir
叽=
8kr
iq
ir
»
jq
8
jr
an
a
為
a
J
a
8
13
23
33
%
=55—55iq jr ir jq
=ananai3 + al2a2ia3l +
p = k
a^aA - - - anaA
=J%— = 94,02%
ff ff — fV fV — & &
Kronecker-8和置换符号符号的关系为：kij kst is jt 's "
二张量代数
（减法）
两个同阶、同变异（结构）的张量可以相加（或相减）。张量相加（或 相减）是相加（或相减）其同名的分量。
设血,B；”是张量,则
A'jk=A[k + B'jk
4=竝+码
也是张量。可以证明，张量相加（减）的结果是一个同阶同变异张
量。
胄曽;齐心）+必）］
ox oyJ oy
-则肝肝d 2
~dx' dyj dyk '"八丿
、斜对称张量
1）对称张量
若张量满足如下的关系式:
A； = 4”
这样的张量称为二阶对称张量。
例如，基本度量张量和相伴度量张量都是对称张量。
2） 斜对称张量
若张量满足以下关系式：
A,- = ~Aji
则称为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。
3） 二阶张量的分解
任何一个一般二阶张量都可以分解成一个对称张量和一个反
对称张量之和，即:
Gj =儿 + Btj
Au =^c,j +
Bij = |（C'> -CJ = — *（G，-CJ = -Bji
4）高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标（或上标）对称或反对称。例如置 换张量，它关于任一对下标是反对称的：
W 徹 _ _ W jik，W 护 _ _ W ikj，W 徹 _ _ W kji
两个张量的外积是将它们的