23 恰当微分方程与积分因子.ppt

文档介绍：§ 恰当方程与积分因子一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuu?dy y udx x udu??????如果我们恰好碰见了方程 0 ),(),(??????dy y yxudx x yxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu?定义 1 使得若有函数),,(yxudy yxNdx yxMyxdu),(),(),(??则称微分方程)1(,0),(),(?? dy yxN dx yxM是恰当方程. .),()1(cyxu?的通解为此时如 0?? ydx xdy0)2()3( 322????dy xy xdx yyx0)()(??dy ygdx xf是恰当方程. ?)( xyd??)( 23 xy yxd????))()((ydygxdxfd 1 恰当方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1) 是否为恰当方程? (2) 若(1) 是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1) 不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件定理 1 则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数, ),(),(R yxNyxM)1(,0),(),(?? dy yxN dx yxM为恰当方程的充要条件是).2(, ),(),(x yxNy yxM?????)1(,0),(),(??dy yxNdx yxM证明“必要性”设(1) 是恰当方程, 使得则有函数),,(yxu dy y udx x uyxdu??????),( dy yxNdx yxM),(),(??故有),,(yxMx u???),(yxNy u???从而 2, M u y y x ? ??? ?? 2. N u x x y ? ??? ??从而有都是连续的和由于, 22yx uxy u??????, 22yx uxy u???????故. ),(),(x yxNy yxM?????“充分性”, x yxNy yxM?????),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(yxu)4(,),(),(),( dy yxN dx yxMyx du??即应满足)5( ),,(yxMx u???)6( ),,(yxNy u??????).(),(),(ydx yxM yxu?,)(的任意可微函数是这里 yy????y u因此?????)7(),( )(dx yxMy Ndy yd?,)7(无关的右端与下面证明 x的偏导数常等于零即对 x 事实上]),([??????dx yxMy Nx]),([?????????dx yxMyxx N )6( ),,(yxNy u???即同时满足使下面选择),6( ),(uy?????dy yddx yxMy )(),( ?N????).(),(),(ydx yxM yxu?]),([?????????dx yxMxyx Ny M x N??????.0?积分之得右端的确只含有于是,)7(,y,]),([)(dy dx yxMy Ny???????故??dx yxM yxu),(),( ,]),([dy dx yxMy N??????(8) 。 yxu为恰当方程从而存在即)1(,),(?????)7(),( )(dx yxMy Ndy yd?注:若(1) 为恰当方程,则其通解为 dy dx yxMy Ndx yxM,]),([),(????????二、恰当方程的求解 1 不定积分法. ,0),(),(1 0若是进入下一步是否为恰当方程判断??dy yxNdx yxM???, ydx yxM yxu)(),(),(2 0?求).(),(3 0yyxNy u?求由???例1验证方程 0) sin 2()(????dy yxdx ye x是恰当方程,并求它的通解.