文档介绍：毕业设计
题目:刚性系统的隐式RK方法
学院: 数理学院
专业名称: 信息与计算科学
学号: 2
学生姓名: 丁楠
指导教师: 汪玉霞
2016年05月15日
摘要
本文主要介绍单步隐式Runge – Kutta方法,简要的介绍了Gauss型隐式Runge – Kutta方法、Radau型隐式Runge – Kutta方法与Lobatto型隐式Runge – Kutta方法。并利用这些基本的隐式Runge – Kutta方法来对刚性方程组进行数值求解,并将隐式Runge – Kutta方法与显式经典Runge – Kutta方法求解的结果进行对比,说明两种数值解法的优缺点。
关键词:刚性系统隐式Runge – Kutta方法单步方法 Newton迭代法
Abstract
This paper mainly introduces the Implicit Runge-Kutta Methods and a simple description of Gauss implicit Runge-Kutta method ,Radau implicit Runge-Kutta method and Lobatto implicit Runge-Kutta method 、 These basic Implicit Runge-Kutta methods are used to solve the stiff equations、 These
implicit Runge-Kutta methods iare compared with the classical explicit Runge-Kutta method、 This paper explain the advantages and disadvantages of the two kind of numerical methods、
Keywords: Stiff system Implicit Runge-Kutta method One step method Newton iterative method
目录
1、绪论 1
1、1刚性方程 1
1、2隐式RK方法的研究意义 2
1、3 RK方法的研究现状 3
2、单步RK方法的收敛性与稳定性 5
2、1单步RK方法的收敛性 5
2、2单步RK方法的稳定性 6
3、三类隐式RK方法 8
3、1引言 8
3、2 Gauss型隐式RK方法 9
3、3 Radau型隐式RK方法 10
3、4 Lobatto型隐式RK方法 11
4隐式RK方法的实现 13
4、1非线性系统的改进 13
4、2简化的Newton迭代法 13
5数值实验与结果分析 15
参考文献 18
附录 21
绪论
1、1刚性方程
对于一般的线性常系数系统
y'=Ay+φ(t)
A为m×m的矩阵,特征值为λi(i=1,2,⋯,m)。
定义1[23] 若一个系统满足
(1)Reλi<0, i=1,2,⋯,m
(2)maxiReλiminiReλi=R≫1
其中R为刚性比,则这个系统称为刚性系统。
定义2[27] 若线性系统
y'=Ay x∈0,T
或非线性系统
y'=f(x,y) x∈0,T
的矩阵A或Jacobi矩阵∂f∂y的特征值λi满足
max1≤i≤mReλi≫1
则其就是刚性的。
定理1(解的存在性与唯一性)
(1)对于所有x,y∈D,函数fx,y就是连续的;
(2)对于任何x,y,(x,y*)∈D,存在常数L,就是函数满足
fx,y-f(x,y*)≤Ly-y*
则初值问题
y=fx,y a≤x≤bya=η
有唯一解。
其中y=(y1,y2,⋯,ym)T,D=x,y|a≤x≤b,-∞<a<b<∞;-∞<yi<∞,i=1,2,⋯,m 。其中L被称为Lipschitz常数
定义3 如果一个常微分系统的Lipschitz常数L很大(大于20),则它就是刚性的。
1、2隐式RK方法的研究意义
在常微分方程及常微分方程组的数值解法中,Runge – Kutta方法就是目前应用最为广泛的数值解法之一,同时又具有误差小,精度高的特点。尽管显式Runge – Kutta方法能够非常准确、快速的给出大部分常微分方程组的数值解。但就是在化学、自动控制电力系统等领域中,会出现一些病态的常微分方程组,也就就是