文档介绍：平面向量基本定理
学****目标 ，，当一组基底选定后，．
知识点一 平面向量基本定理
思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
梳理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点二 向量的正交分解
思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于
，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
答案 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．
梳理 正交分解的含义
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )
提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底．
2．零向量可以作为基向量．( × )
提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )
提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．
类型一 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
答案 ②③
解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．
①e1＋e2，e1＋3e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－e2，e1－e2.
答案 ②⑤
解析 由题意，知e1，e2不共线，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，∴2e1－e2与e1－e2共线，⑤不能作基底．
类型二 用基底表示向量
例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
引申探究
若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解 取CF的中点G，连结EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴＝＝b，
∴＝＋＝a＋b.
又∵＝＝，
∴＝＝＝a＋b.
又∵＝＝＋＝＋＝＋，
∴＝＝b＋
＝a＋b.
反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.
解 ＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)
＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)