文档介绍：sI
~ 1 1
sI PAP P sI
..- ~
-adj sI A - 1
P P
det sI A
(s 1)(s 2)
(s
2 .
(s 1) (s 2)
1)(s 2)
(s 1)2 P1
s 2
(s 1) *
(s 1)( s 2)
A的特征多项式det( I
A) ( 1)2( 2)有两重根
1和单特征值3 2,凡是在adj
sI A中的公因子则必然和
det sI
A可以相消。
经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式,
如果
n维矩阵A由下式给出
并且其特征值
互异，作非奇异线性变换x Px，则化A为对
角线标准型矩阵
P 1AP
00
其中，P为范德蒙德（Vandermon©矩阵。即
1 1 1 1
n1 n1 n1
1 2 3
n1 n
补充:
设约当块数为
q和q个mi （约当块的阶数）。A矩阵惟一决定的约当型矩
阵式
J1
J2
Jq
设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型
令 P [P1
P2 Pq]
即，Pi是n
mi阶矩阵
AP PJ
J1
A[ P1 P2
Pq] [P1
P2
Pq]
J2
Jq
根据分块矩阵的乘法规则，有
[APi AP2 Apq] [P1J1 P2J2
PqJq]
上式实际上是q个等式，即APi
PiJi, i 1,2, ,q
将n mi阶矩阵p写成列向量形式，于是有
R [Pi1 Pi2 Pimq]
A Pi1 Pi 2 Pimi] [ Pi1 Pi 2
即
Apm i Pii
APi2 pi1 i pi2
Apmi Pimi 1 i Pimi
也可写成
(il A)pM 0
(il A) Pi2 Pi1
(il A) Pimi Pimi 1
Pimi]
顺序解以上方程组就可以确定 pi的mi个列向量。这些列向量中只有
第一个Pi1是对应于i的特征向量，而其余的mi 1个向量Pi2,
，Pimi ,称
之为对应特征值i的广义特征向量，可由上式递推解出
设矩阵A的重特征值为1 ,代入式(il A)Pi1 0中，即由
(1l A)P11 0
可求出A的对应丁 1的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数，就
是该特征值对应的约当块数，或表示为
11 n rank 11 A
降秩数11就是对应1的线性无关特征向量个数，或者是对应
换句话说，矩阵A的特征值分组1, 2， q中，有1 2
1的约当块块数。
a11 °
将式中计算P12的式子,
(11 A) P12 P11
两端同时乘以(1I A) , ( 1I A)2p12 ( 1I A)p11 0
2