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文档介绍：第四章 不定积分
不定积分的概念和性质
基本积分公式
换元积分法
分部积分
微积分这门课程，主要包括微分学和积分学。在上
学期我们已经学****了微分学，即已知一个函数 ，如
何求出其导数 的问题。本章我们开始学****微分的
反运算，亦即已知一个函数的导数 ，如何求出
的问题，这一过程称为积分。
求总成本函数
这个问题就是求 的积分的过程
4-1 不定积分的概念和性质
又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x 的一个原函数.
定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F'(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx
则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.
1 原函数的概念
例如: ， 是函数 在 上的原函数.
,sin x是cos x在 上的原函数.
(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个
(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．
例如
在 上 是 的原函数
也是它的原函数
即 加任意常数都是 的原函数.
(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.
而
注:
定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，
那么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为
f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作
其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称
为被积表达式，x 称为积分变量，C为积分常数.
即

注意：不定积分为全体原函数F(x) ＋C
例2 求
解
例1 求
解
例3 求
解
3 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
特别地，有
4 不定积分的性质
性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数
不定积分的和(或差)，即
例4 求
解
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意
常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只
要写出一个任意常数即可