概率论与数理统计浙大第四版答案 第四课时.pdf

文档介绍：概率论与数理统计****题四解答

3. 利用定理 2 的结论计算 χ 2分布的期望与方差。
n n
解：设随机变量Y ~ χ 2 (n) ，由定理 2 知 2 2 ，
E(Y ) = ∑ E(X i ), D(Y ) = ∑ D(X i ),
i=1 i=1
其中Xi为相互独立的随机变量，且 X i ~ N(0,1), i = 1,2,L, n .于是
+∞
x2 ⎡ x2 x2 ⎤
+∞ − − +∞ −
2 2 1 2 1 ⎢ 2 1 2 ⎥
E(X i ) = x e dx = − xe − e dx = 1
∫−∞ 2π 2π ⎢ ∫−∞ 2π ⎥
⎣⎢ −∞ ⎦⎥
所以 E(Y) = n .
x2
+∞ −
2 4 2 2 4 1 2
又 D(X i ) = E(X i ) − E (X i ) = x e dx −1
∫−∞ 2π
+∞
⎡ x2 x2 ⎤
− +∞ 2 −
1 ⎢ 3 2 3x 2 ⎥ 2
= − x e − e d