文档介绍：导数计算
f x + Δx − f x)()(
导数定义 ′ xf = lim)(
x→Δ 0 Δx
已知的求导公式：
μ μ−1
C ′ = 0)( )( ′ = μ xx
x ′ = cos)(sin x x ′ = −sin)(cos x
′ = xx ln)( aaa )( ′ = ee xx
1 1
x)(log ′ = x)(ln ′ =
a x lna x
一、可导与连续
1. 可导与连续的关系
定理 1 若函数 = )( 在点 axfy 处可导，则 )( 在点 axf 必连续。
f x − f a)()(
证明 已知 ′ af = lim)( ，
→ax x − a
f x − f a)()(
则 [ − afxf )()(lim ]= lim −⋅ ax )(
x→a →ax x − a
f x − f a)()(
= lim −⋅ ax )(lim = 0
→ax x − a →ax
说明 )( 在点 axf 必连续。
注：反之不成立，即函数在一点连续不一定可导。
例 1 讨论 = 在 xxxf = 0||)( 处的可导性与连续性。
解 x = 0||lim = f )0( ∴ = 在 xxxf = 0||)( 连续；
Q x→0
x −0|| x ||
但是， lim = lim 不存在
x→0 x − 0 x→0 x
∴ = 在 xxxf = 0||)( 不可导．
可导、连续、极限存在之间的关系
可导 连续 极限存在
2. 单侧导数、可导的一个充要条件
f x + h − f x )()(
右导数 若极限 lim 0 0 存在，则称之为 xf )(
h→0+ h
记为 ′ 。
在 x0 的右导数， + xf 0)(
f x + − fh x )()(
左导数 若极限 lim 0 0 存在，则称之为 xf )(
h→0− h
′
在 x0 的左导数，记为 − xf 0 )( 。
′ ′
定理 2 )( 在点 xxf 0 可导 ⇔ + 0 与 − xfxf 0 )()( 都存在
且相等.
⎧ ax xe ≤ ,0,
例 2 设 xf )( = ⎨ 试问 、ba 为何值时，
⎩ xbx >+ .0,2sin
xf 在 −∞ + ∞),()( 内为可导函数，并求其导函数．
解 当 x > 0 时，
x + Δx + b − x + b)2(sin)(2sin
′ xf = lim)(
x→Δ 0 Δx
x + Δx − 2sin)(2sin x
= lim
x→Δ 0 Δx
x + Δx sin)2cos(2 Δx
=