文档介绍：Lebesgue Lebesgue 积分思想简介积分思想简介序言 Riemann 积分回顾一、微积分发展的三个阶段一、微积分发展的三个阶段 (17世纪): Newton (力学) Leibniz (几何) (无穷小)( 19世纪) : Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(ε-N, ε-δ语言),实数理论) ( 20世纪初): Grassmann , Poincare , Cartan (微积分基本定理如何在高维空间得到体现) 二、微积分继续发展的三个方向二、微积分继续发展的三个方向?外微分形式(整体微分几何)(微积分基本定理如何在高维空间得到体现) ?复数域上的微积分(复变函数) ?微积分的深化和拓展(实变函数) 积分回顾积分回顾(1) Riemann 积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义(非负函数): 函数图象下方图形的面积。 x i-1 x ii ni iT baxfdx xfR??????1 0 || ||)( lim )()(?其中 iii iiixx xxx???????? 1 1 (2) Riemann (2) Riemann 可积的充要条件可积的充要条件 f(x) 在[a,b] 上 Riemann 可积 i ni iT baxM dxxf???????1 0 || || lim )( dxxfxm ba i ni iT)( lim 1 0 || ||???????}:)( inf{ }:)( sup{ 1 1iii iiixxxxfm xxxxfM????????其中: x i-1 x ix i-1 x i (2) Riemann (2) Riemann 可积的充要条件可积的充要条件 f(x) 在[a,b] 上 Riemann 可积??????????? i ni ixT 1,0,使得分划 iii iii iiimM xxxxfm xxxxfM???????????}:)( inf{ }:)( sup{ 1 1其中: x i-1 x i 例: Dirichlet 函数不 Riemann 可积。注: D(x) 的下方图形可看成由[0,1] 中每个有理点长出的单位线段组成。 1 1????? i ni ixT?,有分划 1 lim )( 1 0 || ||??????? i ni iT baxM dxxf上积分 0 lim )( 1 0 || ||??????? i ni iT baxm dx xf下积分? Q xQ xxD ?????]1,0[1]1,0[0)(0 1 ( ( 3)Riemann 3)Riemann 积分的局限性积分的局限性' ( ) ( ) ( ) xa f t dt f x f a ? ?? a. :若定理:若 f f( (x x) )在在[a,b] [a,b] 上可微且上可微且 f f' '( (x x) )在在[a,b] [a,b] 上上 Riemann Riemann 连续连续, ,则则注:推荐大家看看龚升写的?《话说微积分》,《简明微积分》, ?数学历史的启示( 《数学教学》, ), ?微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3 ) ?1881 年 Volterra 作出一可微函数,导函数有界但不 Riemann 可积; b. (一般要求一致收敛) 积分与极限交换次序(一般要求一致收敛) 例:设{r n}为[0,1] 中全体有理数(因为其为可数集,故可把它排成序列),作[0,1] 上的函数列????,3,2,1 )( },,,,{1},,,,{]1,0[0 321321?????n xf nnrrrrxrrrrx n??故对一般收敛函数列,在故对一般收敛函数列,在 Riemann Riemann 积分意义下极限积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序,即运算与积分运算不一定可交换次序,即: : dx xf dx xf nn ba n ban)( lim )( lim ???????不一定成立。不一定成立。? Q xQ x nnxDxf ????????]1,0[1]1,0[0)()( lim 则{f n(x)} 在[0,1] 上Riemann 可积,但不 Riemann 可积。 Riemann 积分 i ni iT baxfdx xfR??????1 0 || ||)( lim )()(?x i-1 x i为使 f(x) 在[a,b] 上Riemann 可积, 按Riemann 积分思想,必须使得分划后在多