文档介绍：第九章 工具变量法、两阶段最小二乘与非线性最小二乘
Chapter 9 IV, 2SLS and NLS
1. IV Estimator
xi 和εi 不相关的假定， E[εii|0x ] = ，到目前为止的讨论中都是很重要的。但是在经济学
的许多应用问题中，这个假定并不能成立。没有了这个假定，OLS 估计量 b 不再无偏，因
此高斯马尔可夫定理不再成立，它也不是一致估计量。因此，OLS 估计量也就不再适用。
这时替代的估计方法是工具变量（Instrumental Variables, IV）方法，这是一个更一般的估计
方法，OLS 仅仅是其特例。
古典回归模型中 IV 方法的估计大体是这样的：
'
Suppose that in the classical model yii= x β + ε i, the K variables xi may be correlated with
εi . Suppose as well that there exists a set of L variables zi , where L is at least as large as K, such
that zi is correlated with xi but not with εi . We cannot estimate β consistently by using
OLS. But we can construct a consistent estimator of β by using the assumed relationships
among zi , xi and εi .
由于解释变量的内生性导致 OLS 方法不合适的模型：
动态回归：比如 AR 模型，误差项与解释变量之间是相关的
解释变量的测量存在误差的模型
下面给出 IV 估计量。
首先，解释变量和误差项不相关的假定调整为新的假定：
E[εii| x ] =η i
这个新的假定意味着解释变量现在为干扰项的期望提供信息，即解释变量和干扰项相关。而
且假定 AI3 隐含着
E[xiiε ] = γ
刻划工具变量方法的假定还有：
E[εii|0z ] = .
另外有
plim()ZZ ' / n = QZZ , a finite, positive definite (assumed) matrix.
1
plim()ZX ' / n = QZX , a finite, L*K matrix with rank K (assumed).
plim()Z 'ε / n = 0
下面来推导 IV 估计量。
Zy'' ZX Z 'ε ZX '
plim=+= plim ββ plim plim
nn n n
这里假定 Z 和 X 的变量数相同，因此 ZX' 是方阵，由于假定其秩为 K，所以 ZX' 也是满
秩的，则
-1
ZX'' Zy
plim plim = β
nn
因此推出 IV 估计量为
−1
bZXZIV = ()''y
IV 估计量服从优良的大样本特性，即
a 2
σ −−11
bIV ∼ N β, QQQZX ZZ XZ . ()
n
如何估计σ 2 ？
−1
e =−y Xb IV =−y XZX()'' Zy
=−IXZXZy''−1
()
−1