文档介绍：★ 向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处理线性系统的有力工具——其“有
力”具体表现在这种工具的普适性和简便性上。
★ 学****基础知识 → 专业课程中进一步认知 → 科学研究中应用
第一讲 线性空间与线性变换
一、线性空间的定义及性质
[预备知识]
★ 集合：集合是数学中最基本的概念之一。所谓的集合是指一些事物（或者
对象，称为元素）组成的整体。
集合的运算：设 S 是任意非空集合，如果对任意 x, yS∈ ，按某种规则规定
了 S 中的唯一元素 z 与 x, y 对应，则称这种规则为集合 S 的一个（二元运算）。关
键在于运算的封闭性，即 z ∈S 。
集合的表示：枚举、表达式，如
A = {1, 2, 5}; A = {1,2,3,...}; Axxx= {0+>2 }
元素 a 属于集合 S： aS∈
元素 a 不属于集合 S： aS∉
空集： Φ
子集： S12⊂∈⇒∈ SaS() 1 aS 2
真子集： SSSS121⊂≠, 2
集合相等： SSSS122⊂⊂, 1
集合的交集： SS12∩ =∈{| xxSxS1且 ∈ 2}
集合的并集： SS12∪ =∈{| xxSxS1或 ∈ 2}
集合的和集： SS12+ =+{| xyxS ∈1,y ∈ S 2}
另外，集合的“和”（ + ）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集
合中元素须有可加性。
★ 数域：一种数集，含有非零数，对四则运算封闭（除数不为零）：任意两数
的和、差、积、商的结果仍属于该集合。
比如有理数域、实数域（ R ）、复数域（C ）、四元数域。实数域和复数域是
工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学****矩阵理论的重要基础。
线性空间的概念是对各种具体线性系统的一种统一的抽象。
1. 线性空间的定义：
设V 是一个非空集合，其元素用 x,,y z 等表示； P 是一个数域，其元素用
klm,, 等表示。如果V 满足
（I）在 V 中定义一个“加法”运算，即当 x, y ∈V 时，有唯一的“和”x + y∈V
（封闭性），且加法运算满足下列性质
（1）结合律： x ++=++()()y zxy z ；
（2）交换律： x +=+yyx ；
（3）零元律： 存在零元素0，使 xx+ 0 = ；
（4）负元律： 对于任一元素 xV∈ ，存在一元素 y∈V ，使 x +=y 0 ，且
称 y 为 x 的负元素，记为(−x)。即， xx+ ()−=0。
（II）在V 中定义一个“数乘”运算，即当 xV∈ ，λ ∈ P 时，有唯一的“积”
λ xP∈ （封闭性），且数乘运算满足下列性质
（5）数因子分配律： λ()x + y =+λλx y ；
（6）分配律： ()λ + μλμxxx=+；
（7）结合律： ()λμλμxx= ()；
（8）恒等律： 1xx= ；
则称V 为数域 P 上的线性空间。
注意