文档介绍：等差数列的前n项求和公式
复习
1、等差数列的通项公式
2、等差数列的性质
数列{a}中m+n=p+q，则am+an=ap+aq
若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d
当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项
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分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？
问题：1＋2＋3＋……＋100＝？
引入
首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和：2+99=101，
第3项与倒数第3项的和：3+98=101，
……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是：
高斯算法
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高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…，n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n
颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1
则
倒序相加法
将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
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推导
下面对等差数列前n项公式进行推导
设等差数列 a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+..
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
即 Sn=n(a1+an)/2
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如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2
所以，等差数列的前n项求和公式是
或
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例题
例1 等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
例2 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素个数, 并求这些元素的和.
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解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设数列的前n项和为54，即Sn=54
根据等差数列的前n项求和公式
代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0
解得 n1=9, n2=－3(舍去)
因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
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解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220
根据等差数列的前n项求和公式
得
解得 a1=4，d=6
因此，等差数列的前n项和的公式是
将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
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解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
由于满足它的正整数n共有14个, 所以集合M中的元素共有14个. 即
7, 14, 21, … , 91, 98
这是一个等差数列, 各项的和是
因此，集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.
=735
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