文档介绍：天体力学基础
第五章
天体运动中的
共振现象
共振 a Narrow Bridge
轨道共振基本模型
2
简谐振动方程ϕϕωϕ
+=0 0的解是:
itωω* − it
()ϕωψtCeCe=+00或
() ( )
tA=−sin 0 t
其中振幅A,. 相位是常数
ψ
阻尼振动方程()
++
2 =0的解是:
ϕωψϕγϕωϕ0
t =−Ae− t 2 sin () t
γϕπ
22ωωγ
其中= 0 − 4.
受迫振动方程
++
2 = a cos 2 ft
ωπ0 π
的解是: ϕγϕω
a
ϕ()tft=−sin2()πψ
2 γ
⎡⎤2 − 22()ff22+ ( )
⎣ 0 ⎦
ω0 = 2π f 时出现小分母问题
轨道共振基本概念
行星mm 在另一个行星′的摄动之下, 来自于该摄动的势能为:
RGmS= ′∑ cosϕ
其中ϕλS 是半长径,偏心率,
=++++Ω+Ωjjj12345′′ jj ′ j 6,
此处jk 满足d'Alembert公式
jjjjj123456+++++j = 0.
并且可以证明Ses 的最低阶(,sin= i )形式为:
2
f () α
Seess≈ j4 ′′jj36j 5,
a′
而可以表成f () 示系数的函α Laplace 数.
轨道共振基本概念
一般地,不含平经度的那些角度变量所在的项是长期项,而含有平经
,′如下:
λελ=+=M nt() −+=+nt,.′′= n t + ′无摄时ε,ε′是常数
那么: ϖτϖ
()
jj′′+≈ jnjnt + +const.
12λλ 12
所以当2 3 时,有:
ajja≈()2 1 ′ mensurability
ε
这是一个局部的性质
jn1 ′+≈ j2n 0.
是慢变量.
ϕ
为方便计,将ϕ写成:
ϕλ= jkjj′′′+−λϖ() + ϖ3456 + jj +Ω+Ω j,0 k ≥
此时的d'Alembert 公式是:
jjjj3456+++=− k.

由Lagrange 行星运动方程
daR2 ∂
= ,
dtna∂
可知只考虑共振(通约)引起的半长径的变化是:
f α
⎛⎞da2 Gm′() j4 jj36 j 5
⎜⎟=−∑()kjeess −′′sinϕ
⎝⎠dtres na a′
先将这个方程近似为:
aAjntkjntBt
≈+−+sin ⎡⎤′ B是体现ϖ,Ω变化的
()res ∑⎣⎦( )
这个方程近似解(定性地)为: 近似常数,BO∼()ϖ
A
a ≈−a ()cosϕ
0 ∑ jn′+− k jn+ B
在通约处出现“小分母”问题
轨道共振基本概念
太阳系中的轨道共振
土星的卫星系统
2:1
2:1
4:3
轨道共振基本概念
太阳系中的轨道共振木星的卫星系统
2:1
2:1
木星卫星系统 Io Europa Ganymede Callisto
中的这个4:2:1
共振,称为
Laplace共振
nnIE−+32 n G = 0
轨道共振基本概念
太阳系中的轨道共振
轨道共振的几何
轨道共振时,两天体运动频率发生通约的构型使得摄动在时间流逝
的过程中得以保持,因而对运动的稳定性具有重要的意义。
2:1 共振,稳定构型
2:1 共振,不稳定构型并不绝对!!!