文档介绍：一阶共振
从轨道共振第二基本模型出发,讨论一阶共振(1)k =
12
HAJB=++ J 2 CJ()2cos,ϕ
ABC,,为三个常数,, Jϕ是一对共轭坐标定义新的广义动量. I 和时间τ:
−−−23 23 13 23
JBC= δ It,.= BCτ
Hamilton系统简化为:
12
HABC′=++II21323() cos , ϕδ= −−
上述变换使得时间变慢,轨道偏心率或轨道倾角被放大. AC,1,1
∼ B
引入直角坐标:
x = 22IyIcosϕϕ,= sin ,
这时的 Hamilton 函数变成
1122 222
H′= ()xyδ++()x +y +x.
24
一阶共振
由方程Hamilton
1122 222
H′= δ()x ++yxyx() + +,
24
知道正则运动方程是:
∂H 22
xyyxy
=−=−−() + ,
表示对新时间变量求导
∂y xy,:
δ dx dy
∂H 22 xy
≡≡,
yxxxy
=+ = +() + +1. ddττ
∂x
δ
平动点()xy0 , 0 满足:
xyyxy
=−−()22 + =0,
()δ
yxxxy
=+22 + +=10.
δ
求解得:
xx++=3 10,
0 0 δ
y0 = 0.
一阶共振
记:
1213 12 13
⎡ 11⎛⎞δδ33⎤⎡ 11 ⎛⎞⎤
dd=−⎢+ +⎥⎢, =−−+ ⎥
122⎜⎟ 4 27 2 ⎜⎟ 4 27
⎣⎢⎝⎠⎦⎣⎥⎢⎝⎠⎦⎥
则x0 的三个解为:
xdd01=+ 1 2,
xdddd=−13 + +i −,
022 () 1 22 () 1 2
1 δ 3
13i +=0, =−
xdddd=−+−−. 427
0322() 1 2() 1 2 δ
δ>−, 一个平动点
δ=−, 两个个平动点
<δ−, 三个平动点
一阶共振
二阶共振
当k = 2, 时为二阶共振的情况,此时的 Hamilton 函数为:
1122 22212 22
H =+++++δ()xy()() xy xxy ,
24
而正则运动方程是:
∂H 22 22−12
x
=−=− y − yx()() + y − xyx + y ,
∂y
δ
∂H 22 2212 222− 12
yxxxyxyxxy
=+ = +()() + + + +() + .
∂x
δ
平动点()xy0 , 0 满足:
−12
x
=− y − yx()()22 + y − xyx 22 + y =0,
δ
12 −12
yxxxy
=+()()22 + + x 22 +yxx +2 ()2 +=y2 0.
δ
求解得:
32−1 ⎧−−2,δδ<− 2
δ xx++ x + xx =0, ⎪
00 0 00 解为: xy00==⎨,0.
⎩⎪−−22δδ, <+
y0 = 0.
二阶共振