文档介绍：长期共振
如果两个天体的长周期变化项的频率之间存在通约关系,则称为
长期共振.
天体运动中的长周期变化项有:近日点经度ϖ,. 升交点经度Ω
一般地, 太阳系中大行星的近日点经度和升交点经度会因为各大
行星之间的相互引力作用而产生特定的频率进动,因而太阳系中的天
体可能和大行星之间产生长期共振.
不妨把摄动函数中的长期项写出来(展开到e, s
展开式的间接项中不含长期项):
Rbsec = 11()001++ eeDDbssb22′′2αα+ α 22() −+ 1 22()
2812()() 12 2() 32
1 22 ()11()
+−−ee′′′′()22αα D ϖϖ D b cos() α−+s s b cos() Ω−Ω.
4 12 32
由这个展开式出发,. 可以研究长期摄动对运动的影响
长期共振
本节以平面椭圆型三体模型来展示长期共振的机制.
ϖϖ
假设摄动体(某大行星,比如木星)在一个椭圆轨道上运动,该椭圆半
长径ae′,, 偏心率′′为常数而近日点经度′以恒定的速度进动:
′= g .
在这个模型下,描述被摄动体(轨道在摄动体轨道内侧,比如主带小
行星)的运动的Hamilton 函数是: 平面三体模型:0,ss= ′=
取eee 的4 阶且略去22′项.
αα2 αααα
()Gm0 Gm′ 24
H=−−+++−⎡⎤ A Ae Be Cee′′cos()ϖϖ
sec2L2 a′⎣ 0 ⎦
其中的系数AABC0 ,,, 是摄动体与被摄动体的半长径之比α()= aa′
的函数:
()
11()0 22 ()0
AADD==+bb(),2,() () ()
0122812
() 1133 44()0 22 ()1
BDDCDDbα=+()4, () ααα() =−−() α()
12812 4 12
长期共振
采用Poincare 变量,
La===++Ωµλω1 ,, l M
ρµ ϕϖ2 ω
=−−=−=−+Ω1ae(11 ,) () .
Hamilton函数成为:
() 2
Gm0 Gm′ 2
HA=−−−+−δρβρε2cos ρϖ() ϖ′−.
secδ 2L2 a′ 0
其中: Hamilton函数中不显含l ,
2Gm′ A La是常数,, 所以α是常数
= β,
aL′
Gm′() A− 4 B ρ
= ε, =−11− e2
aL′ 2 L
22
Gm′′ e C 2 ⎛⎞ρρρ⎛⎞
= . e =−12⎜⎟1 −= −⎜⎟
aL′⎝⎠L LL ⎝⎠
长期共振
略去常数项后Hamilton 函数是:
H =−δρβρ+ε 2 −2cos()′−.
再略去其中的高阶项2 并作从极坐标到直角坐标的变换:
ρϖϖJ ,
x = 2 cos −,
ρϖ()β
y =−2 sin() .
ρϖ
Hamilton函数变成
1 22
H =−δ()xy + −εϖεϖ xcos′+ y sin′.
2
相应的正则运动方程是:
x
= δεygt−+sin ϖ()′ 0′, ϖ′= gt′′+ϖ
()′′
yx=−δε− ϖ gt + 0
这组方程可以解析求解.
长期共振
正则运动方程
x
= δ ygtyxgt−+=−−+εϖsin()′ 00′′′,
δε cos () ϖ
的通解是:
()1
xa= costgt+− cos()′′+ ,
00δϖϖ− g′ 0
()1
yt=−a sin + + () gt′′+
00−δg′ 0
δϖϖ
注意到实际上是这个解的频率,. 不妨记作 g = δ
δ 0
δ
当gg0 = ′时, 方程解的振幅(偏心率)趋于无穷,但实际上,随着偏心率的
增大,原本贡献甚小可以略去的非线性项将抑制偏心率的增长,所以此
β
时应考虑J 2 的作用.
对于起源于xy==0, 0, 的轨道而言偏心率激发最大的频率是:
1 3
gg=+′ 2()βε 2 2 .
长期共振
另一方面,忽略常数项之后,Hamilton 函数是:
2 第二基本模型?
Hsec = −+δρβρϖρεϖ−2cos()′−.
ρϖφ
这个Hamilton 函数含时间(ϖ′′= gt ),通过生成函数SI= ( ′−) 构造
正