天体力学基础-下 (4).pdf

文档介绍：天体力学基础
第六章
保守系统中的
有序与混沌运动
6 保守系统中的有序与混沌运动
‹保守系统是指相空间相体积保持不变的系统;
‹保守系统是自然界一类重要的系统;
‹天体力学是保守系统的重要来源;
‹可积哈密顿系统不存在混沌运动;
‹近可积哈密顿系统一般都存在混沌运动;
‹混沌运动的存在是保守系统局部不稳定性的来源;
‹本章还要讲述保守系统中混沌运动的起源以及三体问
题不可积性的根本原因
连续动力系统和离散动力系统
对一个力学系统的描述,通常包含两个要素:
1. 描述系统状态的参量x∈ Rn ,称为状态点;
.
具备了上述两个要素的力学系统被称为动力系统(dynamical system).
力学系统
所有状态点的集合称为动力
相空间(phase space) 系统
状态变化
从相空间一个状态点到
另一个状态点的运动则称为
相流(phase flow) 相空间相流
连续动力系统和离散动力系统
根据对应法则形式的不同,动力系统分成两大类:
连续动力系统(continuous )和离散动力系统( discrete)
(组)来描述:
dx
= fx(),t ,
dt
()T
其中x =∈xx12,,," xni 为 n 维向量. x R 或 R 的某个子集,
()
T
f = ff12,,," fn 为 n维向量函数.
( mapping )来描述:
x′= g()x ,
()T
其中x =∈xx12,,," xni 为 n 维向量. x R 或 R 的某个子集,
()T
g = gg12,,," gn 为 n 维向量函数,xx′是按对应法则 g 经过一次
迭代后的相点.
连续动力系统和离散动力系统
无论连续动力系统还是离散动力系统,: 都可以分成两类
保守系统(conservative )和耗散系统( dissipative )
保守系统是相流不可压缩的系统;而耗散系统是相流可压缩的系统.
对高维系统而言,(可
以是离散的点集),它的测度是该集合在给定的底空间内所占的比例.
,根据Liouville 定理, 沿着相流其相体积的变化为:
()TraceA t
⎛⎞∂ff11∂∂ f 1
VV= 0e "
⎜⎟∂∂xx ∂ x
d x ⎜⎟12 n
其中Afx 是动力系统= (),t 的变分矩阵. ⎜⎟∂ff∂∂ f
dt 22" 2
A = ⎜⎟∂∂xx ∂ x
因此系统保守意味着(即充要条件:) ⎜⎟12 n
⎜⎟##%#
n ∂f
TraceA = i = 0. ⎜⎟∂ff∂∂ f
∑∂x nn n
i=1 i ⎜⎟"
⎝⎠∂∂xx12 ∂ xn
连续动力系统和离散动力系统
,将映射xgx′= ( ) 看成从相空间X 到相空间 X′的
坐标变换,这样的坐标变换保持测度不变的充要条件是变换的
Jcaobi矩阵
⎛⎞∂∂gg ∂ g
11" 1
⎜⎟∂∂xx ∂ x
⎜⎟12 n
⎜⎟∂∂gg ∂ g
22" 2
B = ⎜⎟∂∂xx ∂ x
⎜⎟12 n
⎜⎟##%#
⎜⎟
∂∂ggnn ∂ g n
⎜⎜⎟" ⎟
⎝∂xx12∂∂ xn ⎠
的行列式的值为1:
detB = 1.
连续的或离散的保守系统,可以是奇次维的,也可以是偶次维的.
连续动力系统和离散动力系统
连续的保守系统,可以是奇次维的,也可以是偶次维的,比如ACB 流
即是三维的保体积(保测度)流体:
dx
=+ByCzcos sin , ACB 流的变分矩阵:
dt
0sincos−ByCz
dy ⎛⎞
=+CzAxcos sin , ⎜⎟
dt A =−⎜⎟AcosxCz 0 sin ,
⎜⎟
dz −AxBysin cos 0
=+AxBycos sin . ⎝⎠
dt
连续的保守系统中,具有偶次维和反对称结构的,就是Hamilton系统.
离散的保守系统,也可以是奇次维或偶次维的,比如Henon 映射:
⎧ xaxb′=−1 2 −y, Henon映射的 Jacobi 矩阵:
⎨
⎩yx′= . ⎛⎞−−2ax b
BB= ⎜⎟,det = b
当参数b =1 时就是二维的