文档介绍：第三章参数估计
11/11/2017
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§3. 1 参数估计概述
参数估计是统计推断的基本方法之一。我们把刻划总体X的某些特征的常数称为参数,最常用的参数是总体X的数学期望和方差。假如总体,则X的分布是由参数μ和σ2确定的,其中μ=E(X),σ2 =D(X)。
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在实际问题中,总体X的参数是未知的。
例如纱厂细纱机上的断头次数X~P(λ),如果求每只纱绽在某一时间间隔内断头的次数为K的概率,就需要先确定参数λ,才能求出所求的概率。
又如,灯泡厂生产的灯泡,由经验知其寿命
,但是由于生产过程中各种随机因素的影响,生产出来的灯泡的寿命是不一致的,为了保证灯泡的质量,必须进行抽样检查,根据样本所提供的信息,对总体X的分布做出估计,也即对参数μ,σ2做出估计。这类问题称为参数估计问题。
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参数估计问题,就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数的估计量,当取得一个样本值时,就以相应的统计量的值作为总体参数的估计值。
例如,常以统计量作为总体数学期望的估计量。当要估计某批灯泡的平均寿命时,就从该批灯泡中随机地抽取若干个,分别测出其寿命,以这些测量数据的平均值作为该批灯泡的平均寿命的估计值。
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设总体X的分布函数的类型已知,但是其中有一个或多个参数未知,设X1,X2,……,Xn为总体X的容量为n的样本。参数估计就是讨论如何由样本X1,X2,……,Xn提供的信息对未知参数作出估计,以及讨论如何建立一些准则对所作出的估计进行评价。
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一般是建立适当的统计量,当样本观察值为时,如果以
作为总体分布中未知参数的估计值,这样的估计方法叫做点估计,如果总体分布函数中有t个未知参数,则要建立t个估计量作为t个未知参数的估计量。
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参数估计的形式分为两类:点估计和区间估计。由估计量的观察值作为未知参数的估计值,这种作法称为点估计或定值估计。而有时并不要求对参数作定值估计,只要求估计出未知参数的一个所在范围,并指出参数被包含在该范围的概率,这种方法称为区间估计,进行参数估计并不一定要预先知道总体的分布类型。有时,虽然未知总体的分布类型,但仍可对总体的某些数字特征作出估计。
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§3. 2 参数的点估计
点估计方法很多,本节介绍最常见的矩估计法和极大似然法。
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一、矩估计法
由大数定律可知,样本分布函数依概率收敛于总体分布函数,样本均值依概率收敛于总体均值,我们自然会想到,是否能用有关的样本矩来估计总体分布的相应矩呢?统计实践表明,这个方法是可取的,这种用样本矩来估计总体分布参数的方法称为矩估计法,通常,用样本均值来估计总体的均值,用样本方差S2来估计总体的方差。
问题:矩估计法究竟是什么方法?
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【】某班统计学考试成绩服从正态分布。随机抽取6人的成绩依次为:70,78,75,85,80,92。试用矩估计法对总体的参数作出估计。
解: 设X表示该班统计学成绩,则
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