文档介绍：函数的极值主讲人: 09 数本二班李莉?函数极值的概念?函数极值的求法函数极值的概念设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x 0 是(a , b)内一点如果对于点 x 0近旁的任意一点 x , 均有 f ( x ) < f ( x 0 ), 则就称 f ( x 0 )是函数 f ( x)的一个极大值, 点x 0 是 f ( x )的一个极大点; 如果对于点 x 0近旁的任意一点 x , 均有 f ( x ) > f ( x 0), 则就称 f ( x 0 )是函数 f ( x )的一个极小值, 点x 0 是 f ( x )的一个极小点; 值的必要条件: 如果函数 f (x ) 在点 x 0 处有极值,且 f?(x 0)存在, 则必有 f?(x 0)?0。驻点: 使导数 f?(x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。说明: 可导函数 f(x)的极值点必定是函数的驻点。但函数 f(x)的驻点却不一定是极值点。 x yO f(x)?x 3 yx Oab y?f(x)x 1 f ?(x 1)?0 x 2 f ?(x 2)?0 x 3 f ?(x 3)?0 x 4 f ?(x 5)?0 x 5 观察与思考: 极值与导数有何关系? 函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点。函数极值的判定定理设函数 f (x)在点 x 0 的近旁可导且 f ′(x 0) = 0 ⑴若在点 x 0 的左侧近旁 f ′(x)恒为正; 在点 x 0 的右侧近旁 f ′(x)恒为负, 则函数 f (x)在点 x 0 处取得极大值 f ′(x 0) (2) 若在点 x 0 的左侧近旁 f ′(x)恒为负; 在点 x 0 的右侧近旁 f ′(x)恒为正, 则函数 f (x)在点 x 0 处取得极小值 f ′(x 0) yx Ox 1x 2ab y?f(x) 在极大值点附近在极小值点附近 f?(x )<0 f?(x )>0 f?(x )>0 f?(x )<0 (ⅰ)极值是一个局部概念并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小注意: (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 f(x 2) f(x 4) f(x 5)f(x 3)f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 b a x O y