文档介绍：第五讲薄壁箱梁的自由扭转
第一节基本假定
在材料力学中,我们曾经讨论过圆截面杆的扭转问题,那时,我们假定杆件变形后截面保持为平面,只是相对地转动了一个角度,而截面的大小和形状都保持不变。这个假定对于圆截面杆来说是比较符合实际情况的,那么对于非圆截面的杆在扭转时,这个“平截面假定”不符合实际情况了,也就是说原来的平截面将产生“翘曲”,即截面可以产生沿轴线方向的位移。
当截面纵向翘曲不受约束,截面上只存在扭转剪应力而无正应力时,这种扭转称为“自由扭转”或“纯扭转”,或“圣维南扭转”。
实际工程结构中由于支承条件(支座或横隔板)、扭转力矩沿杆轴的不均匀分布等原因,杆件纵向位移往往受到约束,这时杆件截面上除存在自由扭转剪应力外,尚有因纵向位移受约束而产生的附加正应力及其相应的附加剪应力,这种扭转称为约束扭转。约束扭转产生的附加正应力及和剪应力称为翘曲正应力和翘曲剪应力。
在薄壁杆件自由扭转线性分析中,除线弹性、小变形(第三讲第二节所述假定2、3)假定有效外,还采用“截面周边投影不变形”假定,即无“畸变”。该假定认为,杆件受扭转变形后,其截面周边在原有平面()内投影形状不变。即截面可以产生沿轴线方向(方向)的位移(称为截面的纵向翘曲)。也就是说,在发生纵向翘曲后截面不再为平面(即平截面假定无效)。
第二节自由扭转的基本方程
为了分析需要,先简述实体等截面直杆的自由扭转方程。
观察图5-1所示实体截面,设为杆件截面的扭转角,杆件截面上任一点仅存在剪应力、和剪应变、以及相应的面内位移、及纵向翘曲位移。
图5-1
根据虎克定律,有如下的物理方程:
(5-1)
按弹性理论,在平面内剪应变与位移间的关系——几何方程为:
(5-2)
根据周边投影不变形假设,当截面绕
轴转动角时(图5-2a),截面内任一点移动至,由图(5-2a)有:

展开上式,根据小变形假定有:

及
则(5-3)
图5-2a
图5-2b
将其代入几何关系式(5-2),

第一式对求导,第二式对求导,两者相减得到:
(5-4-1)
将物理关系式(5-1)代入上式有:
(5-4-2)
下面讨论问题的静力学方程。根据图5-1,截面内力与应力有如下关系:
(5-5)
考虑受力单元体(图5-2b)轴方向的平衡条件可得
(5-6)
至此,理论上由式(5-4)、(5-5)、(5-6)可以求解、及,实际上对于任意形状截面和任意支承条件的杆件,由这些方程直接求解,往往存在数学上的困难,故在下一节中将介绍“薄膜比拟法”。为便于进行“薄膜比拟”,现引入Aires应力函数,将式(5-4)和式(5-6)联立,可得到关于应力函数和扭转角的微分方程。
观察式(5-6),定义应力函数,使得
(5-7)
于是平衡方程式(5-6)自动满足,将式(5-7)代入式(5-4)、式(5-5)后,便得到以应力函数表达的微分方程
(5-8)
图5-3
其中第二式推导如下:
将由应力函数表达的剪应力式(5-7)代入式(5-5)有:
(a)
注意到,以及,。则式(a)参照图5-3可表达为:
(b)
应用分部积分法,式(b)中第一项
(c)
根据式(5-7)可知,剪应力为一阶偏导数,而在截面周边上,可取,式(c)中即有:

因此,由式(c)可得:
(d)
同样可得出式(b)的第二项
(e)
将式(d)、式(e)代入式(b)后得到:

此外,也可按如下更为简捷的方法证明。
将代入式(a),则有:
(f)
根据Green定理,式(f)右边第一项积分
(g)
即沿截面的面积积分,可转化为沿周边的积分,其中、分别为边界法线的方向余弦。对于在扭矩作用下的实体截面,其边界上有,故式(g)应等于零,于是得到:

第三节薄膜比拟法
由于杆件自由扭转微分方程求解的数学困难,,不但直观方便,而且也为实验方法提供了基础。
在自然界中有一些本质上完全不同的物理现象,却可以用同样的数学规律来描述。这样,如果我们借助于某种实验或近似方法,对其中一种物理现象取得有关的量,从而推出另一种物理现象的。这种方法称为比拟法。我们即将介绍的薄膜比拟法,便是利用扭转问题的应力函数,与在均布横向力作用下张紧的薄膜垂度之间在数学上的相似性来求解扭转方法。
其基本思想是:利用杆件自由扭转时应力函数微分方程与均布压力作用下薄膜挠度微分方程的数学相似性,对二者进行比拟,通过研究具有直观意义的薄膜挠度,简捷地讨论杆件的自由扭转问题。
图5-4
如图5-4所示柔软薄膜具有与受扭杆件截面相同(或相似)的形状,薄膜粘附在刚性周边上,对其施加均布垂直