文档介绍：序言:除了级数与三重积分高数下得知识基本都在这里了,而且都就是考试必备知识,所以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！
第八章向量代数与空间解析几何
平面得点法式方程:设平面过P(x0 ,yo , z0),法向量,则平面方程为:
平面法向量一般求法:一般法向量与俩向量,,则
,如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由求
第九章多元函数微分学
二元函数:
二元函数得极限:求法与一元基本一致,下判断其存在性:
一般找俩条特殊路线,若二者极限不相等则二重极限不存在,即常取,等简单路线,若结果与K有关则极限不存在(注意一定要将给消掉)
例、判断下列二重极限就是否存在,存在并求其值
(2) (3)
解:(1)取,则原式==,与K有关,故极限不存在
(2)取。则原式==,与K有关,故极限不存在
(3)此题无法利用上述方法判断其就是否存在,故直接求
原式= = = (用了第二个重要极限)
二元函数连续性:在连续等价于
4、偏导数求法:对x求则把y瞧成常数,反之亦然
例、 求 (为二阶偏导)
解、
5、全微分几个概念间关系
可微函数一定连续(不连续一定不可微)
可微则偏导一定存在(逆命题不成立)且 (全微分公式)
函数有一阶连续偏导则函数一定可微
偏导不存在一定不可微
例、讨论函数在就是否可微
解、 思路:求其在点极限就是否存在,判断其连续性从而判断其就是否可微
取,则 = = 取决于,故在 点极限不存在(即使存在若不等于0,该函数在点不连续,亦不可微),故 在点不连续,故函数在不可微
复合函数求导法则:分道相加,连线相乘
中间函数为一元:
则 其中 可用 表示(f对一个变量得偏导)
同理可用 表示,这样就避免了u、v在最后结果中出现了
例、 , 求
解、,,
则
中间函数为二元:
则 下面举一个特别重要得例子
例、具有二阶连续偏导,,求
解、,,
则
由于具有二阶连续偏导,故
(表示对第2个变量v得偏导,其她同理)
故原式 这种题一定要弄懂！！！
隐函数微分法
一个方程情形:
则 , 则
例、 求全微分dz
解、令 则 ,
故
方程组情形(有3个未知量时求得就是导数,有4个未知量时求得就是偏导)
方法:对方程两边同时对x或y或其她变量求(偏)导即可
例(1)求, (2)求,
解、(1)方程组两边同时对z求导得:
解得
(2)方程两边同时对x求偏导得:
解得
方向导数与梯度
方向导数:设二元函数在点处可微,则在点处 沿任意方向得方向导数都存在,且其值: 其中为对x轴