文档介绍：______________________________________________________________________________________________________________
平面向量
一 . 向量的基本概念与基本运算
向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量
向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向线段的起点与终
uuur
uuur
xi yj ( x, y)
点的大写字母表示，如：
AB 几何表示法
AB ， a ；坐标表示法 a
向
uuur
量的大小即向量的模（长度）
，记作 | AB | 即向量的大小，记作｜ a ｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行
零向量 a ＝ 0
｜
r
r
a ｜＝ 0 由于 0 的方向是任意的，且规定
0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有
“非零向量 ”这个条件．（注意与 0 的区别）
③单位向量：模为
1 个单位长度的向量
向量 a0 为单位向量
｜ a0 ｜＝ 1
④平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直
线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移 ( 即
自由向量 ) ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量， 只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必
须区分清楚共线向量中的 “共线” 与几何中的 “共线”、的含义， 要理解好平行向量中的 “平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b 大
x1 x2
小相等，方向相同 (x1, y1 ) (x2 , y2 )
向量加法
y1 y2
求两个向量和的运算叫做向量的加法
uuur
r uuur
r
r uuur
uuur uuur
设 AB
a, BC
b ，则 a + b = AB
BC = AC
（1） 0 a a 0 a ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ：
1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
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