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文档介绍：§ 定解条件
一、引入定解条件的必要性:
:物理方程仅能表示
一般性,要个性化物体的运动需要附
加条件。
:微分方程的解的任
意性也需附加条件来确定这些附加的
件,就是初始条件和边界条件,统称
为定解条件。
二、初始条件:
1、定义:
我们在求解含有时间变量t的数理方程
时,往往必须追溯到某个所谓“初始”时刻的
状况,我们称物理过程初始状况的数学表
达式为初始条件
如弦振动
ìu |t =0 = ϕ(x)
í
îut |t=0 =ψ(x)
2、注意:
(1) 整个系统初始状况;
如图所示,
则初始条件为
ì ì(2h / l)x 0 £ x £ l / 2
ïu |t=0 = í
í î(2h / l)(l ­ x) l / 2 £ x £ l
ï
îut |t =0 = 0
(2) 时间t的 n阶方程需要n个条件:
如: 2 ìu |t=0 = ϕ(x)
utt = a u xx + f ® í
îut |t=0 =ψ(x)
ut = DDu + f ® u |t =0 = ϕ(x)
三、边界条件:
1、定义:
我们在求解方程时要考虑边界状况,我们称物理
过程边界状况的数学表达式为边界条件
例如:
u(x,t) ¬ u(x ± ε,t) ¬ u(x ± 2ε,t)
¬¾¾延伸¾ u(±a,t)
2、三类边界条件:
(1) 第一类边界条件:
又称为狄利克莱(Dirichlet)条件
u |边= f (M ,t) ¬已知
­t
导热:u |x=l = T0e
如: 杆振:u |x=0 = 0, u |x=l = 0
(2) 第二类边界条件:
又称为诺依曼(Neuman)条件
un |边= f (M ,t) ¬已知
如图所示:
F(t)一段单位面积受力 Dx
­ ρ(l ­ Dx,t) × s + F × s = ADxρutt
¶u
Dx ® 0 : P(l,t) = F, E | = F
¶x x=l
ux |x=l = F / E, F = 0自由
又如杆的导热问题:
¶u ψ(t)
a. x = l端流出热流ψ即| = ­
¶x x=l k
¶u ψ(t)
b. x = l端流入热流ψ即| =
¶x x=l k
¶u ψ(t)
c. x = 0端流入热流ψ即| = ­
¶x x=0 k
(3) 第三类边界条件:
又称为混合边界条件
(u + hun ) |边= f (M,t) ¬已知
如牛顿冷却问题:
­ kux |x=l = (u |x=l ­u0 )H
k
\ [u + u ] = u
H x x=l 0
杆的纵振动问题:
若一端固定,一端与弹簧相连
u |x=0 = 0
­ P(l ­ Dx1t) × s + F = ρsDxu + t
P(l,t) × s = ­ku |x=l
\ (u x + hu) |x=l = 0
3、注意:
(1) 区别边界条件和外源
2
例: 方程 u tt = a u xx [+ f ]? f = ?
力F 是外力、初始条件、还是边界条件?
解: a. 不是初始条件
t=0F
>t因为虽 F开始时有,但并未说
以后就撤去。
b. 不是源
因为源应在系统内部,始终存在。
¶u
c. E | = F
¶x x=l
F
\u | =
x x=l E
是边界条件