文档介绍：§ 正交曲线坐标系中的分离变量
一、ìDu + λu = 0
í 的重要地位:
îDu = 0
在三类数理方程中,如果令:
u(x,t) = T (t)v(x, y, z) <1>
2
则波动方程utt  a Du = 0化为:
T¢¢(t)v(x, y, z)  a 2T (t)Dv = 0
T¢¢ Dv
= = λ
a2T v
从而得到:
ìT¢¢ + a 2λT = 0
í <2>
îDv + λv = 0
此既是亥姆霍兹(Helmhot`z)方程。
同样,将式<1>代入热传导方程
ut  DDu = 0
可得到一个 T(t)的常微分方程和 v(x,y,z)
的亥姆霍兹方程:
ìT¢ + DλT = 0
í
îDv + λv = 0
二、柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量
将式<2>写为:
Du + λu = 0
将柱坐标中的Du表达式代入,得:
1 ¶ ¶u 1 ¶ 2u ¶ 2u
(ρ) + + + λu = 0
ρ¶ρ¶ρρ 2 ¶ϕ 2 ¶z 2
令:
u(ρ,ϕ, z) = R(ρ)F(ϕ)Z(z)
代入上式,得:
Fz d dR Rz d 2F ¶ 2Z
(ρ) + + RF + λRFZ = 0
ρ dρ dρρ 2 dϕ 2 ¶z 2
1
两边乘以并移项,得:
RFZ
1 d dR 1 d 2F 1 ¶ 2 Z
(ρ) + + λ= 
Rρ dρ dρ Fρ 2 dϕ 2 Z ¶z 2
要使上式成立,等式两边必是一个常数
则:
Z¢¢ + µZ = 0
1 d dR 1 d 2F
(ρ) + + λ µ = 0
Rρ dρ dρ Fρ 2 dϕ 2
2
对于后一方程,两边同乘以ρ
ρ d dR 1 d 2F
(ρ) + ρ 2 (λ µ) = 
R dρ dρ F dϕ 2
上式若相等,则两边必为常数,故
令常数为 n2
则:
ìF¢¢ + n2F = 0
ï
í ρ d dR 2 2 2
ï (ρ) + k ρ n = 0
îR dρ dρ
综上所述,解偏微分方程:
Du + λu = 0
可令:
u(ρ,ϕ, z) = R(ρ)F(ϕ)Z(z)
则化为下列三个常微分方程:
ìZ¢¢ + µZ = 0 <3>
ï 2
íF¢¢ + n F = 0 <4>
ï 2 2 2 2
îρ R¢¢ + ρR¢ + (k ρ n )R = 0 <5>
其中µ、n2、k 2 为分离变量过程中引入的常数要根据
边界条件取某些特定的值,分别称为方程<3>、<4>、
<5>的本征值。方程<3>、<4>是常系数常微分方程,其
解易于求得,而方程<5>是变系数常微分方程。
作变换:
x = kρ y(x) = R(ρ)
则方程<5>变为:
x2 y¢¢ + xy¢ + (x2  n2 )y = 0
称之为n阶贝塞耳(Bessel)方程。
三、柱坐标系中拉普拉斯方程的分离变量
注意到拉普拉斯方程:
Du = 0
是亥姆霍兹方程Du + λu = 0当λ= 0的特例
故可得:
ìZ¢¢ + µZ = 0
ï 2
íF¢¢ + n F = 0
ï 2 2 2 2
îρ R¢¢ + ρR¢ + (k ρ n )R = 0
但其中:k 2 = 0  µ = µ
例:一个半径为a薄圆盘,上下两面绝热。
若已知圆盘边温度,求圆盘上的稳定温度分布。
解:
由于圆盘上下绝热,且为薄圆盘,且无热源存在,
故其温度分布u(x,t)应满足:
ìDu = 0 , ρ< a <a>
í
îu |ρ=a = f (ϕ) <b>
将极坐标系中 Du 代入<a>式,得:
1 ¶ ¶u 1 ¶ 2u
(ρ) + = 0 <c>
ρ¶ρ¶ρρ 2 ¶ρ 2
令: u(ρ,ϕ) = R(ρ)F(ϕ) <d>