文档介绍：第四单元正态分布
一、学习目标
通过本节课的学习,了解正态分布的密度函数,标准正态分布及其密度函数、分布函数等概念,熟练进行正态分布的标准正态化,并熟练计算各种正态分布的概率值.
二、内容讲解
如果随机变量X的密度函数为f(x)=,其中m,s为常数,s>0,则称X服从正态分布,记为X~N(m,s2)
   0    m           x
正态分布密度函数f(x)的图形:
f(x)
f(x)图形的特点:
(1)f(x)在点x=m处取最大值,图形关于x=m对称,左、右侧迅速下降,无限趋近x轴;
f(x)
0 m x
s=
s=1
s=2
(2)s 越小,图形越陡峭,X的取值越向x=m处集中;s 越大,图形越扁平.
在正态分布N(m,s2)中,m=0,s=1,即N(0,1)(x),有(x)=
对任意实数x,分布函数记为F(x)=P(X£x),由连续型随机变量的定义,F(x)=P(X£x)==,称其为标准正态分布的分布函数.
F(x)的图形如下:
y
F(x)
F(-x) 1-F(x)
-x 0 x x
由图可知:F(x)=1-F(-x)
F(x)(x³0)的值可查附表¾标准正态分布数值表.
设X~N(0,1),则P(a<X£b)=F(b)-F(a),计算概率值就可以通过查表得到了.
思考题:若X~N(0,4),有P(a<X<b)=F(b)-F(a)吗?
这个随机变量不是标准正态分布,所以这个概率计算式是不对的.
现在推导一般正态分布的概率计算问题.
设随机变量X的密度函数为f(x)=
即X~N(m,s2),如何求概率P(a<X<b)呢?
一般地,X~N(m,s2),
P(a<X<b)=
(其中是标准正态分布的密度函数)
=F-F
所以,若X~N(m,s2),则Y=~N(0,1)(此过程称为标准正态化)
于是,回答前面的问题,若X~N(0,4),则P(a<X<b)= F-F()
问题思考1:若X~N(0,1),a为何值时,有P(X<a)=P(X>a)?
a=~N(m,s2),都有P(X>2)=1-P(X£2),本问题中X~N(0,1),已知P(X<a)=P(X>a)=1-P(X<a),即 F(a)=1-F(a),得到F(a)=,查表得到a=0.
问题思考2:已知X~N(0,1),则P(X<0)=~N(5,2),还有P(X<0)=?
,都有P(X£0)=,方差不为1时,即为一般正态随机变量,必须进行标准正态化,才可以直接查附表求概率.
当X~N(5,2)时,Y=~N(0,1),
则P(X<0)=P(<)=P(Y<)=F()
»F(-)=1-F()=1-=
四、例题讲解
例1:设X~N(0,1),求:(1) P(X<);(2) P(-<X£);
解:(1) P(X<)=F(-)=
(2) P(-£X<)=F()-F(-)
=-[1-F(