文档介绍：§ n阶行列式的定义
问题:如何定义n阶行列式?
、二阶与三阶行列式的构造
特点:
(1)二阶行列式是一个含有
项的代数和;
(2)
每一项都是两个元素的乘积,这两个元素既位于不同的行,又位于不同的列,并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成;
(3)
任意项中每个元素都带有两个下标,第一个下标表示元素所在行的位置,第二个下标表示该元素所在列的位置。当把
每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后,每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定,奇排列取负号,偶排列取正号。
对三阶行列式也有相同的特点
特点:(1)共有3!项的代数和;
(2)
每一项是三个元素的乘积,这三个元素既位于不同的行又位于不同的列,展开式恰由所有这些可能的乘积组成;
(3)
当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后,每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定。
二、n阶行列式的定义
1、
为一个n阶行列式,它等于所有
取自不同行不同列的n个元素乘积
的代
数和,这里
是
的一个排列。
每一
项
中把行下标按自然顺序排列后,其符号
由列下标排列
的奇偶性决定。当
偶排列时取正号,当
是
是奇排列时取负号,
即
根据定义可知:
n阶行列式共由n!项组成;
要计算n阶行列式,首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积;
把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺
序,其符号由列下标所成排列的奇偶性决定;
n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。
2、例子
:计算行列式
:计算行列式
:用行列式定义计算
:设
问:
是不是四阶行列式
的项?
如果是,应取何符号?
是,取符号:-1
是,取符号:-1
:设
问:(1)dhsy与ptaz是否为
的项?应取何符号?
(2)
含有t的项有多少?
(6项)
注:
在一个行列式中,通常所写的元素本身不一定有下标,即使有下标,其下标也不一定与这个元素本身所在的行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号,必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。
在一般情况下,把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为
在行列式
中,从左上角到右下角这条对角线称为主对角线

在n阶行列式
中,项
所带的符
号是
证明:1、交换项
—(1) 中任两个元素
与
的位置,不改变
把(1)中
与
对换后得
—(2)
由于对换改变排列的奇偶性,故
与
与
的奇偶性互化,
2、逐次交换(1)中的元素的次序,可以把(1)化为
故
—(3)
+
与
有相同的奇偶性
+
的奇偶性。