文档介绍：绪论
顾名思义,实变函数论即讨论以实数为变量的函数,这样的内容早在中学
都已学过,中学学的函数概念都是以实数为变量的函数,大学的数学分析,常微
分方程都是研究的以实数为变量的函数,那么实函还有哪些可学呢?简单地说:
实函只做一件事,那就是恰当的改造《数学分析》中 Riemann 积分定义使得更多
的函数可积。
何以说明现有《数学分析》中 Riemann 积分范围小了呢?因为
0, x为无理数时
D(x)=
1,x为有理数时
这样形式极为简单的函数都不可积, 所以我们认为积分范围狭窄。
如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢?让我们先剖析一下造成
这一缺陷的根本原因在何处,只有先找准病根,然后才能对症下药。由数学分析
知:对任意分划 T:a= , 由于任意一个正长度区间内
x0 < x1 < x2 < L < xn = b
既有有理数又有无理数,所以恒有:
S(T,D)-s(T,D)≡1-0=1
如果分划不是这样呆板,这样苛刻地要求一定要分成区间的话,还是有可能满
足大小和之差任意小的。比如,只要允许将有理数分在一起,将无理数分在一起,
那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点,首先让分化概念更加广泛,更
加灵活,从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即
n
D:E= ,其中 m ≤ f<M,m= 时,要
E[]yi−1 ≤ f < yi m = y0 < y1 < L < yn = M
Ui=1
n
S (D,f)-s(D,f)= [][yi − yi−1 ⋅ mE yi−1 ≤ f < yi ][]≤ max yi − yi−1 ⋅ mE < ε,只须
∑ 1≤i≤n
i=1
ε
max[]yi − yi−1 < ,这里 mE[]yi−1 ≤ f < yi 相当于集合 E[yi−1 ≤ f < yi ]的长度。
1≤i≤n mE
Lebesgue 正是基于这个思路创立了 Lebesgue 积分理论。
思路非常简单,但实现起来并非易事,因为 E[yi−1 ≤ f < yi ]可能很不规则,如何
求 mE[]yi−1 ≤ f < yi 呢?这就是一般集合的测度问题(即第三章内容),而测度理论所
度量的对象是集合,尤其是多元函数定义域所在空间 R n 的子集。因此,必须先介绍
集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。测度理论本来是为了推广长度、面积、
体积概念到一般 g 的集合,然而在实施过程中却使我们非常遗憾,我们无法对直线
上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求:一、落实到具体区间的测
度就是长度(即测度确为长度概念的推广);二、总体测度等于部分测度之和( 即可
列可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度, 这一部分集合
便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如 E[yi−1 ≤ f < yi ]的集合
可测呢?这就是可测函数理论问题( 即第四章内容) ,由于
E[][]yi−1 ≤ f < yi = E f ≥ yi−1 − E[ f ≥ yi ],所以我们采用对∀a ,有 E[