文档介绍：§ 可测函数的结构 Lusin 定理
本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念,并从可测函数与
简单函数的关系,可测函数与连续函数的关系,可测函数与正、负部下方图形的
关系角度研究了可测函数的本质特征,从而把握可测函数的结构。
N
若 E= E n ,其中 E n 可测且互不相交,则称φ(x)=
Un=1
C1 x ∈ E1
C2 x ∈ E 2
C x ∈ E
N N 为 E 上的简单函数。
若φ、ψ为 E 上的简单函数,则φ±ψ,φ×ψ,φ÷ψ,|φ|也为 E
上的简单函数。
由于对∀ a,E[φ>a]= E ,故定义在 E 上的简单函数均为定义 E 上的
U i
Ci >a
可测函数。我们称
1, x ∈ E
χ E (x)= 为集合 E 的特征函数。
∉ E
显然函数χ E (x)可测的充分必要条件是集合 E 可测,这是之所以称χ E (x)
为 E 特征函数的原因。
N
显然φ(x)= C χ()x 。
∑ n Ei
n=1
一般说来,可测函数不一定是简单函数,但都可以表成简单函数的极限。
f 在 E 上非负可测<=>存在 E 上的简单函数列{φ n }满足
0≤φ n (x)≤φ n+1 (x) ,且φ n (x)→f(x) (∀ x∈E )
证明“=>”若 f≥0 且在 E 上可测,作
i −1 i −1 i
, x ∈ E ≤ f <
n n n n
φ n (x)= 2 2 2 i=1,2,...,n2
n, x ∈ E[]f ≥ n
则显然有φ n (x)≤φ n+1 (x) ,且φ n (x)→f(x) (∀ x∈E )。
事实上,若 f(x)=+∞,则φ n (x)=n→+∞=f(x);
1
n
若 0≤f(x)<+∞,则当n>f(x)时,|f(x)-φ n (x)|< 2 →0 (n→+∞),
恒有φ n (x)→f(x)。
“<=”。
f 在 E 上可测<=>存在 E 上的简单函数列{φ n }满足
|φ n (x)|≤|φ n+1 (x)|,且φ n (x)→f(x) (∀ x∈E )。
证明“=>”f 为一般可测函数时,f + ,f −在 E 上可测,则存在 E 上的简
+ + + +
n
单函数列{φ}满足φ n (x)≤φ n+1 (x),且φ n (x)→f (x),
−−−−−
φ n 满足φ n (x)≤φ n+1 (x),且φ n (x)→f (x),从而存在 E 上的
+ −
简单函数列{φ n }={φ n (x)-φ n }满足
+ −+ −
|φ n (x)-φ n (x)|=|φ n (x)|+|φ n (x)|
+ −+ −
≤|φ n+1 (x)|+|φ n+1 (x)|=|φ n+1 (x)-φ n+1 (x)|,
+ −+ −
且φ n (x)=φ n (x)-φ n (x)→f(x)=f (x)-f (x) (∀