文档介绍：答案
y + xtgα y 2
1.(1) (,x y )y' = (2)()()x −+−=yxy'2 l 2 (3) xy' + y = 0
x − ytgα y'
y
(4)()()2y −−=xy'2 x a (5) y − xy'2= x
y'
y
提示:过点(,x y )的切线的横截距和纵截距分别为 x −和 y − xy' 。
y'
0 时刻的质点的在平衡处,坐标轴为一平衡位置为原点,竖直向下为轴的方
向,
设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律
dx
我们得到微分方程::m( )2+kx2=2mgx,x(0)=0,
dt
,设任意时刻物体的位置为 x(t),由牛顿运动定律,
dx
我们得到微分方程:md2x/dt2=mg-k ,其中 g 为重力加速度;
dt
T(t),由牛顿冷却定律,
dT(t)
我们得到微分方程: =-k(T(t)-A),T(0)=T0,其中 k 为比例系数,
dt
−kt
解该方程得到:T(t)=A+(T0-A)e ;
,沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时
刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律,我们得到微分方程:
dv 3g
= ,v(0)=0;
dt 2
dy(x)
2
y(x)
= dx
op − x dy(x) 2
( ) −1
dx
dy dy d 2 y dy
7. 1) x = 2y ,2) = y ,3) =
dx dx dx dx
3x 2 d 2 x dx
4) c = + 3x( ) 2 ,代入略
2 dy 2 dy
dy dy dy dρ dy dx
5) x[y + ( ) 2 ] − y = 0 ,6) ρ sinθ= (1− cosθ) ,7) = −tgt
dx dx dx dθ dt dt
8. 1),2 阶线性;2)2 阶非线性;3)2 阶非线性;4)m 阶线性;
5),1 阶若 f(x,y)关于 y 是线性的,则线性;否则,非线性;6),3 阶同左;
7),2 阶非线性;8) 1阶非线性;
(略)
10. 1) 通解:y=x2+c,c 为任意常数;2)特解为:y= x2+3;
3)y= x 2 +4,4)y=x2+5/3;
dy d 2 y d 3 y
11. 很容易得到: = re rx , =r2erx, =r3erx,代入微分方程
dx dx 2 dx3
1) r = − 2 ;,2) r = ±1,3) r = 2 或 r = −3,4) r = 0 或 r = 1或 r = 2
dy d 2 y
12. 同上我们很容易得到: =rxr-1, =r(r-1)xr-2,代入微分方程
dx dx 2
1)(r(r-1)+4r+2) x r =0, 则 r=-1 或 r=-2;
2)(r(r-1)-4r+4)xr=0, 则 r=1 或 r=4;
13. 1)y=0 或者 y=a/b 为其两个常数解;
2)函数单调增,即:y(a-by) ≥ 0 解得:0 ≤ y ≤ a/b;
函数单调减,即:y(a-by) ≤ 0 解得:y ≥ a / b 或 y ≤ 0 ;
a
3)微分方程通解是: y(x) =
b + ce−ax
所以拐点的y坐标为a/b;
4) (略)
返回目录
答案
1.(1) yx≠ R2 (2) y ≠ 0 (3) R2 (4) yx≠
x 1
2.(1) y (x) = 1, y (x) = (s 2 +1)ds = x 3 + x
0 1 ∫
0 3
x 1 2 2 1
y (x) = [s 2 + ( x 3 + x)]ds = x 3 + x 5 + x 7
2 ∫
0 3 3 15 63
x
(2) y (x) = 0 , y (x) = e s ds = e x −1,
0 1 ∫
0
x 1 1
y (x) = (e 2s − e s +1)ds = e 2x − e x + x +
2 ∫
0 2 2
1 ⎧ 1 ⎫ 2 2
3.(1)证:取 a = ,在矩形区域 R = ⎨(x, y) | x ≤, y ≤ b⎬上, f (x, y) = y + cos x
2 ⎩ 2 ⎭
2 ⎧1 b