文档介绍：数学建模讲座
玩具、照片…
~ 实物模型
风洞中的飞机…
~ 物理模型
地图、电路图…
~ 符号模型
模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行
简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
我们常见
的模型
什么是数学模型
第一章建立数学模型
你碰到过的数学模型——“航行问题”
用x表示船速,y表示水速,列出方程:
求解得到 x=20, y=5,
答:船速每小时20公里
航行问题建立数学模型的基本步骤
作出简化假设(船速、水速为常数);
用符号表示有关量(x, y表示船速和水速);
用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以
时间)列出数学式子(二元一次方程);
求解得到数学解答(x=20, y=5);
回答原问题(船速每小时20公里)。
数学模型(Mathematical Model) 和
数学建模(Mathematical Modeling)
数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,
根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当
的数学工具,得到的一个数学结构。
数学建模:建立数学模型的全过程
(包括建立、求解、分析、检验)。
数学建模的重要意义
电子计算机的出现及飞速发展
数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步,
越来越受到人们的重视。
数学建模
计算机技术
如虎添翼
知识经济
建模示例椅子能在不平的地面上放稳吗?
问题
椅子能在不平的地面上放稳吗?
,椅脚与地面接触处可视为一人点,四脚的连线呈正方形;
,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面;
,地面是相对平坦的,使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
模型假设
A
B
C
D
t
A‘
B‘
C‘
D‘
O
x
模型构成
椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。
t ~椅子绕中心点O旋转角度
f(t)~A,C两脚与地面距离之和
g(t)~A,C两脚与地面距离之和
f(t), g(t) 0
模型构成
由假设1,f和g都是连续函数
由假设3,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地:对任意t ,f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证明如下的数学命题:
已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) •g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0,使f(t0)= g(t0)=0
模型求解
O
x
A‘
B‘
C‘
D‘
A
B
C
D
t
最后,因为f(t) •g(t)=0,所以f(t0)= g(t0)=0。
令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)>0和h( ) <0,由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 (0<t0< ),使h(t0 )=0,即f(t0)= g(t0)。
将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换。由g(0)=0,f(0)>0可知g( )>0,f( )=0
建模示例商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
3名商人
3名随从
河
小船(至多2人)
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
?
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数
yk~第k次渡河前此岸的随从数
xk, yk=0,1,2,3;
k=1,2,
sk=(xk , yk)~过程的状态
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
S ~ 允许状态集合
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数
dk=(uk , vk)~决策
D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
uk, vk=0,1,2;
k=1,2,
sk+1=sk dk
+(-1)k
~状态转移律
求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律
由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).
多步决策问题