文档介绍：线性最小二线乘问题的存在与唯一
线性模型的正规方程
线性模型举例
线性模型引深及推广
线性最小二乘方法评注
正交多项式
问题的提出
最佳平方逼近
实例讲解
某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。
提示:将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标纸上标出各点,可以发现什么?
数据表格
从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系,可用一条直线来表示两者之间的关系。
解:设 y*=a+bxi ,令δ=yi-y*i=yi-a-bxi,根据最小二乘原理,即使误差的平方和达到最小,也就是令 n
Q=∑δi2
i=1 为最小,即求使
(a,b)=
有最小值的a和b的值。
计算出它的正规方程得
解得: a= , b= 直线方程为:y*=+
一问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的,它要求插值函
数与被插函数在插值节点上函数值相同,而在其他点上没有要求。在非
插值节点上有时函数值会相差很大。若要求在被插函数的定义区间上,
所选近似函数都能与被插函数有较好的近似,就是最佳逼近问题。
最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
来讨论,于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题,而离散的最佳平方逼
进问题就是常说的曲线拟合
它们都可用最小二乘法求解。
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曲线拟合的最小二乘法
最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数在数据点处的偏差,即(i=1,2,…,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势,
最小,此即称为最小二乘原理
•最小二乘法的求法