文档介绍：线性代数公式
1、行列式
行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
代数余子式得性质:
①、与得大小无关;
②、某行(列)得元素乘以其它行(列)元素得代数余子式为0;
③、某行(列)得元素乘以该行(列)元素得代数余子式为;
代数余子式与余子式得关系:
设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
行列式得重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素得乘积;
②、副对角行列式:副对角元素得乘积;
③、上、下三角行列式():主对角元素得乘积;
④、与:副对角元素得乘积;
⑤、拉普拉斯展开式:、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标得连乘积;
⑦、特征值;
对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;
证明得方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0就是其特征值;
2、矩阵
就是阶可逆矩阵:
(就是非奇异矩阵);
(就是满秩矩阵)
得行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
,总有唯一解;
与等价;
可表示成若干个初等矩阵得乘积;
得特征值全不为0;
就是正定矩阵;
得行(列)向量组就是得一组基;
就是中某两组基得过渡矩阵;
对于阶矩阵: 无条件恒成立;
矩阵就是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式就是数值,可求代数与;
关于分块矩阵得重要结论,其中均、可逆:
若,则:
Ⅰ、;
Ⅱ、;
②、;(主对角分块)
③、;(副对角分块)
④、;(拉普拉斯)
⑤、;(拉普拉斯)
3、矩阵得初等变换与线性方程组
一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯一确定得:;
等价类:所有与等价得矩阵组成得一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单得矩阵;
对于同型矩阵、,若;
行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列得其她元素必须为0;
初等行变换得应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
若,则可逆,且;
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;
③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;
初等矩阵与对角矩阵得概念:
①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、,左乘矩阵,乘得各行元素;右乘,乘得各列元素;
③、对调两行或两列,符号,且,例如:;
④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;
⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;
矩阵秩得基本性质:
①、;
②、;
③、若,则;
④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵得秩)
⑤、;(※)
⑥、;(※)
⑦、;(※)
⑧、如果就是矩阵,就是矩阵,且,则:(※)
Ⅰ、得列向量全部就是齐次方程组解(转置运算后得结论);
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵,则;
三种特殊矩阵得方幂:
①、秩为1得矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)得形式,再采用结合律;
②、型如得矩阵:利用二项展开式;
二项展开式:;