文档介绍：第5章函数
函数的基本概念
反函数和复合函数
集合的基数
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,f是A到B的二元关系,如果对于A中的每一个元素x,都存在B中惟一元素y,使得x,yf,则称f是A到B的函数或映射。记为f:A→B。x,yf,常记为y=f(x),x称为自变元或像源,y称为在f作用下x的函数值或像。
由函数的定义可以看出,函数是一种特殊的二元关系。若f是A到B的函数。它与一般二元关系的区别如下:
①函数的定义中强调A中的每一个元素x有像,所以A=dom f。这称为像的存在性。
②函数的定义中还强调像y是唯一的,称做像的惟一性。像的惟一性可以描述为:设f(x1)=y1且f(x2)=y2。如果x1=x2,那么y1=y2。或者,如果y1≠y2,那么x1≠x2。
第5章函数
【】设 N为自然数集合,下列N上的二元关系是否为函数?
f=x,2x| xN
g=x,2| xN
解:f和g都是从自然数集合N到自然数集合N的函数,常记为f:N→N,f(x)=2x和g:N→N,g(x)=2。
设A和B是两个任意集合,A×B任意子集是A到B的二元关系,但不一定是A到B的函数。当A和B是有限集时,,A到B的二元关系共有2|A||B|个,A到B的函数有多少个呢?以下研究这个问题。
设A和B是两个任意的集合,f |f:A→B是A到B的所有函数构成的集合,常记为BA。读作B上A。
【】设 A=1,2,3,B=a,b,求BA。
解:由A到B的函数有以下8个:
f0=1,a,2,a,3,a
f1=1,a,2,a,3,b
f2=1,a,2,b,3,a
f3=1,a,2,b,3,b
f4=1,b,2,a,3,a
f5=1,b,2,a,3,b
f6=1,b,2,b,3,a
f7=1,b,2,b,3,b
BA= f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7
A到B的函数共8个,8=23=|B||A|。
当A和B都是有限集时,这个结论可以推广。一般地说,若|A|=m,|B|=n,则|BA|=nm=|B||A|。
设A和B是两个任意的集合,f:A→B,A1A,集合f(x) |xA1称为集合A1在f下的像,记为f(A1)。
集合A在f下的像 f(A)= f(x) |xA称为函数f的像。显然,函数f的像f(A)就是二元关系f的值域,即f(A)=ran f。
【】设f:1,2,3 →a,b,
f=1,a,2,a,3,b,A1=1,2,
试求A1在f下的像f(A1)和函数f的像f(A)。
解:f(A1)= f(x) |xA1=f(1), f(2)=a
f(A)= f(x) |xA=f(1), f(2), f(3)=a,b
设f:A→B,g:C→D,若A=C,B=D且xA,有f(x)=g(x),则称函数f和g相等,记为f =g。
例如,函数f:N→N,f(x)= x3
函数g:1,2,3 →N,g(x)=x3
虽然函数f和g有相同的表达式x3,但是它们是两个不同的函数。
如果把f和g看成二元关系,
fN×N,用列举法表示为:
0,0,1,1,2,8,3,27, 4,64, …
g1,2,3 ×N,用列举法表示为:
0,0,1,1,2,8,3,27
按二元关系相等的条件衡量,它们也是不等的。函数相等和二元关系相等是一致的。
设f:A→B,若f的值域ran f =B,则称f为满射。
设f是A到B的函数,由定义不难看出,如果yB,都存在xA,使得f(x)=y,则f是满射函数。
例如,A=a,b,c,d,B=1,2,3,f是由A到B的函数, 定义为:f =a,1,b,1,c,3,d,2
因为ran f=f(A)=1,2,3=B,所以f是满射。。:
若A、B是有限集,f:A→B
是满射,在f的示意图中,B中每
个元素至少是一个有向边的终点
且|A|≥|B|
设f:A→B,若yran f,存在惟一的xA,使得f(x)=y,则称f为单射。
设f是A到B的函数,由定义不难看出,如果对于x1A,x2A,