文档介绍：第9章数值分析中的误差
《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程,它是学习专业理论不可少的数学工具.
通过本课程的学习,要使学生具有现代数学的观点和方法,初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时,也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力,使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识,分析和解决实际问题的能力.
本学期讲授数值分析部分,包括数值分析中的误差、线性方程组的数值解法、函数插值和最小二乘拟合、数值积分与微分、方程求根和常微分方程的数值解法. 通过本课程的学习,使学生熟悉数值计算方法的基本原理,掌握常见数值计算的方法.
依据教学大纲,我们对本学期的教学内容,逐章进行辅导,供师生学习参考.
一、重点内容
:在运用数学方法解决实际问题的过程中,每一步都有可能带来误差.
(1)模型误差: 在建立数学模型时,往往要忽略许多次要因素,把模型“简单化”、“理想化”,这时模型就与实际背景产生差距,即带入了误差..
(2)测量误差:已知参数的测量过程受到工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响,必然带入误差.
(3)截断误差:数学模型通过近似替代,简化为易于求解的数值问题所带入的误差称为截断误差(又称方法误差).
(4)舍入误差:计算机只能处理有限数位的小数运算,初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算.
在数值分析课中我们主要讨论截断误差和舍入误差,.
、相对误差和相对误差限以及有效数字等概念以及它们之间的关系.
(1)绝对误差-设精确值x*的近似值为x,差e=x-x*称为近似值x的绝对误差(简称误差).绝对误差一般无法准确计算,,它可正可负.
(2)绝对误差限―近似值x的绝对误差限e是绝对误差e的绝对值的一个上界,即|e|=½x-x*½£.
在工程中常记作: , 如L=±.
(3)相对误差er―绝对误差e与精确值x*的比值称为近似值x的相对误差,记作,.
相对误差是一个没有量纲的量,,可正可负.
(4)相对误差限―相对误差er的绝对值的一个上界,,常用来计算.
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―如果近似值x的绝对误差限e是它某一个数位的半个单位,我们就说x准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。有效数字是根据需要对精确值按四舍五入原则取近似值所得。有效数字的位数与小数点的位置无关,只有经四舍五入并写成规格化形式后,小数点后的数字位数才能反映出其有效位数的多少。一般来说,对于同一个精确值,其近似值的有效位数越多,误差的绝对值就越小,但也有例外。
关于有效数字的结论有:
(1)设精确值x*的近似值x,若:
,其中a1,a2,…,an是0~9之中的自然数,且a1¹0,
则称x有l位有效数字。即:如果,是对x的第n+1位数字进行四舍五入后得到