文档介绍：线性代数第一讲
概论
线性代数是一门普通的基础理论课,它被广泛地应用于科技的各个领域,尤其在计算机日益普及的今天,求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。
线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法,线性方程组的基本知识,另外行列式也是一个有力的工具,在讨论上述问题时都要用到。
本门课程的特点,既有繁琐和技巧性很强的数字计算,又有抽象的概念和逻辑推理,在学习中,需要特别加强这两个方面的训练。
第一章行列式
§1定义
二阶、三阶行列式
中学学过解二元一次方程组
如果有解,它的解完全可由他们的系数表示出来。
.
若,则(2)
同理(3)
其中均称为二阶行列式
(4)
是一个数,主对角线两数之积减副对角线两数之积(对角线法则)
同样,在解三元一次方程组(5)
时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义。
定义2,三阶行列式
(6)
行、列称为D的元素。
例1
如果我们把所在的行(第i )和列(第j)划去后,所剩下的二阶行列式记为,那么有
故(6)式可写成:
(7)
称为元素的余子式,若令,则(7)式又可写成
(8)
称为元素的代数余子式(注,这里的是一个二阶的)
二、n阶行列式
以上,从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律,我们同样用之来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来。
定义3. 由个数排成或行列的正方形数表,按照以下规律,可以得到一个数:(9)
称为n阶行列式,其中,表示划去第行第列后所剩下的n-1阶行列式。
行列——元素称为元素的余子式,成为元素的代数余子式。
注:1. 为了方便,定义一阶行列式。
2. 按照定义式(9),从一阶行列式可以得到二阶行列式的(同对角线法)。
例2. 证明对角行列式(其对角线上的元素是未写出的元素都为0)

证:按定义式(9)
例3. 证明下三角行列式
按定义式(9)得
以上,n阶行列式的定义(9)式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第一列元素展开也有相同的结果,即
(10)
我们还可以证明,行列式按任意行(列)展开,都有相同的结果,即