文档介绍：第二十章曲线积分
教学目的:、二型曲线积分的有关概念;,同时明确它们的联系。
教学重点难点:本章的重点是曲线积分的概念、计算;难点是曲线积分的计算。
教学时数:10学时
§ 1 第一型曲线积分
一. 第一型线积分的定义:
1.          几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量
2.          曲线的质量:
3.          第一型线积分的定义: 定义及记法. 线积分,.
4.          第一型线积分的性质: P198
二. 第一型线积分的计算:
1.          第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念.
设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数. 则
. ( 证) P199
若曲线方程为: , 则
.
的方程为时有类似的公式.
例1 设是半圆周, .
. P200例1
例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 
空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有
.
例3         计算积分, 其中是球面被平面截得的圆周. P201例3
解由对称性知, ,
= . ( 注意是大圆)
§ 2 第二型曲线积分
一.            第二型曲线积分的定义:
1.      力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:
先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得
, 即.
2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例).
设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方
向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向.) .在弧段上的流量. ,
因此,
.
由, 得
.
于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为
.
3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义, 有
力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为
.
流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到
右侧的总流量E为.
第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性. 对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.
可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分
. 
4. 第二型曲线积分的性质:
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题. 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分. 因此, 第二型曲线积分具有(R )积分的共性
, 如线性、关于函数或积分曲线的可加性. 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性, 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函