文档介绍：第十四章幂级数
教学目的:,掌握其收敛性的有关问题;,掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。
教学重点难点:本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式;难点是收敛区间端点处敛散性的判别。
教学时数:12学时
§ 1 幂级数( 4 时)
幂级数的一般概念. 型如和的幂级数. 幂级数由系数数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. . 
一.            幂级数的收敛域:
1.             收敛半径、收敛区间和收敛域:
Th 1 ( Abel ) 若幂级数在点收敛, 则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛;若在点发散,则对满足不等式的任何,幂级数发散.
证收敛, { }有界. 设| | , 有
| , 其中.
.
定理的第二部分系第一部分的逆否命题.
幂级数和的收敛域的结构.
定义幂级数的收敛半径 R.  
收敛半径 R的求法.  
Th 2 对于幂级数, 若, 则
ⅰ> 时,;ⅱ> 时; ⅲ> 时.
证, ( 强调开方次数与的次数是一致的). ……
由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.
幂级数的收敛区间: .
幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.
例1 求幂级数的收敛域.
例2 求幂级数的收敛域.
例3 求下列幂级数的收敛域:
⑴; ⑵.
2. 复合幂级数: 令, ,.
特称幂级数为正整数). 应注意为第项的系数. 并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数, 该级数中,为第项的系数.
例4 求幂级数的收敛域.
解是缺项幂级数.
. 收敛区间为. 时,
通项. 因此, 该幂级数的收敛域为.
例5 求级数的收敛域.
解令, , 当且仅当时级数收敛. 因此当且仅当, 即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.
例6 求幂级数的收敛半径.
解. 
二. 幂级数的一致收敛性:
Th 3 若幂级数的收敛半径为,则该幂级数在区间内闭一致收敛.
证, 设, 则对, 有
, 级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数在上一致收敛. 因此, 幂级数在区间内闭一致收敛.
Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或)收敛,则幂级数在区间( 或)上一致收敛.
证. 收敛, 函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.
易见, 当幂级数的收敛域为( 时, 该幂级数即在区间上一致收敛.
三. 幂级数的性质:
1. 逐项求导和积分后的级数:
设,
*) 和**)仍为幂级数. 我们有
命题1 *) 和**)与有相同的收敛半径. ( 简证)
值得注意的是,*) 和**)与虽有相同的收敛半径( 因而有相同的收敛区间),但未必有相同的收敛域, 例如级数.
2. 幂级数的运算性质:
定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指:它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.
命题2 ,.(由以下命题4系2)
命题3 设幂级数和的收敛半径分别为和,
, 则
ⅰ> , — Const , .
ⅱ> + , .
ⅲ> ( )( ) , , .
3. 和函数的性质:
命题4 设在( 内. 则
ⅰ> 在内连续;
ⅱ> 若级数或收敛, 则在点( 或)是左( 或右)连续的;
ⅲ> 对, 在点可微且有;
ⅳ> 对, 在区间上可积, 且.
当级数收敛时, 无论级数在点收敛与否,均有
. 这是因为: 由级数收敛, 得函数
在点左连续, 因此有.
推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有
, ……
.
由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.
推论2 若, 则有
例7 验证函数满足微分方程.
验证所给幂级数的收敛域为.
.
, 代入, . 
§ 2 函数的幂级数展开
一.            函数的幂级数展开:
1.       Taylor级数: 设函数在点有任意阶导数.
Taylor公式和Maclaurin公式.
Taylor公式:
.
余项的形式:
Peano型余项: ,
( 只要求在点的某邻域内有阶导数, 存在)
Lagrange型余项: 在与之间.
或.
积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有
.