文档介绍：数项级数
一研究级数的目的
借助级数表示很多有用的非初等函数。
解微分方程。
利用多项式来逼近一般的函数。
实数的近似计算。
例 1
例 2
数值级数
一. 收敛与发散概念
若数列,即(1)
将(1)的项依次用加号连接起来,即(2)
简写为称为数值级数,简称级数。称为级数(2)的项,称为(2)的第项与通项。
有限和是我们熟知的,但无限和对我们是陌生的。怎样来计算无限和呢?无限和叫做什么?因此,元很多个数的和是一个未知的新概念,它是有限和的推广。
级数的定义考察前n项部分和或。于是,级数(2)对应着一个部分和数列,即
定义如果级数(2)的部分和数列收敛,即,称级数(2)收敛,并称
是级数(2)的和。记为
如果部分和数列发散,称级数(2)发散,此时级数(2)没有和。
这样,级数的收敛与发散转化为它的部分和数列的收敛与发散。于是,级数的各种性质转化为它的部分和数列的各种性质来讨论。
实质:级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式。
例 1 以等比数列为通项的几何级数的敛散性。其中是公比。
解:1)当时,几何级数的部分和是
i)当时,极限
因此,当时几何级数收敛,其和是,即。
ii)当时,极限
因此,当时,几何级数发散。
当时
(i)时,几何级数是
即部分和数列发散。
(ii)当r=-1时,几何级数是
,当是偶数;,当是奇数。
即部分和数列发散。
由此,(1)当时,几何级数收敛。
(2)当时,几何级数发散。
例 2
于是
例 3 证明级数收敛,并求其和。
证明: 通项可改写为
于是
例 4 证明:调和级数是发散的。
证明:由于都是正数,所以部分和数列是严格增加的,讨论子数列:
即,唯一的自然数使,且有
当时,有,则,即调和级数发散。
二收敛级数的性质
Th 1(柯西收敛准则) 级数收敛的充要条件是: 当时,对任意,有
数列存在极限,是指对,当时,对任给的自然数
推论1 若级数收敛,则
等价命题是:如果,则级数发散。
例
则级数发散。
注意:仅是级数收敛的必要条件,而不是充分条件,即,
也可以发散。
例
有,而调和级数却是发散的。
从柯西收敛准则知,级数收敛等价于级数的充分远(即)的任意片段(即对任意)的绝对值可以任意小,由些可见,级数的敛散性仅与级数充分远的任意片段有关,与级数任意指定的有限和无关,从而我们有
推论 2 若去掉,增添或改变级数的有限项,则不改变级数的敛散性。
例如去掉几何级数的前100项, 仍收敛。去掉调和级数的前100项, 仍发散。
(数列去掉前有限项仍具有收敛性与发散性)根据数列的运算定理,可得到级数的运算定理:
定理 2 若级数收敛,其和是,则级数也收敛,其和是,其中是常数。
证明:
设级数与的项部分和分别是与,有
已知,有,即级数收敛,其和是
Th 2 可写为
即收敛级数具有分配性。
Th 3 若级数与收敛,其和分别是和,则级数
也收敛。其和是
三同号级数
同号级数是指级数的每一项的符号是非负或非正。如果,称级数是正项级数;如果
一般形式:
例12:设{an}串,单调下降趋于0,讨