线性变换的矩阵.ppt

文档介绍：线性变换的矩阵
概念引入
线性变换与矩阵对应关系的性质
线性变换下的坐标变换
A ∈L(V)在不同基下的矩阵
一. 引入概念
设V是数域P上n维线性空间,ε1, ε2, ···, εn是V的一组基,A ∈L(V),则对任意的ξ(∈V),
ξ= x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn , 且其中系数是唯一确定的,称为向量ξ在基ε1, ε2, ···, εn下的坐标.
由于 A ξ= A ( x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn )
= x1 A (ε1)+x2 A (ε2)+ ···+xn A (εn ).
→故A ξ完全由 A (ε1),A (ε2), ···, A (εn )
→有必要研究基ε1, ε2, ···, εn与其象
A (ε1), A (ε2), ···, A (εn ):
定理1 设ε1, ε2, ···, εn是V 的基对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在唯一的A ∈L(V) , 使得
A εi =αi , i =1, 2, ···, n .
分析证明思路:1) 存在性:
对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在A ∈L(V) , 使得
A εi =αi , i =1, 2, ···, n (即 P282,2.).
2) 唯一性:若另存在B∈L(V) ,Bεi =αi , i =1, 2, ···, n
→ A =B (即 P281,1.).
定理意义分析:
(2) 设ε1 ,ε2 , ···,εn是V的基,对任意的ξ∈V, A ∈L(V),
ξ=x1ε1 + x2ε2 + ··· +xnεn
A ξ=x1Aε1 + x2 Aε2 + ··· +xnAεn
由此看出
研究A 的特征,关键在于研究εi与Aεi 的关系,
这里εi , Aεi∈V,i =1,2,···,n
A
L(V)
A
Pn×n
V的基ε1 ,ε2 ,···,εn下