线性变换的运算.ppt

文档介绍：线性变换的运算
线性变换的加法
线性变换的乘法
线性变换数量乘法
可逆的线性变换
线性变换的多项式
L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}
A : V→V是线性空间V上的一种运动,变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算,联系及进一步的特征性质。
V
L ( V )
一. L(V) 上的加法运算
定义1 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定
(A +B )(α) = A, (α) + B (α)
称为A,与B的和,记为A +B .
命题1 对任意的A, , B , C ∈L(V)
A +B ∈L(V) , 且具有如下性质:
(A +B ) + C = A +(B + C );
2. A +B = B + A ;
3. 存在O ∈L(V), O +A =A ;
对任意的A ∈L(V),存在-A ∈L(V),
A +(-A ) = O .
据4,可定义 A -B =A +(-B),故L(V)中有加法的逆运算:减法运算.
证明: 首先要证明A +B ∈L(V),即证明A +B 是V上的变换;且对向量加法和数乘保持不变.
二. L(V)上的乘法运算
定义2 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定
A, B (α) = A, (B (α))
称A, B是A, 与B 的积,记为A, B .
A, 与B 的乘法即映射的合成.
命题2 对任意的A, , B , C ∈L(V)
A, B ∈L(V), 且具有如下性质:
5. (A, B) C =A, (B C ) ;
6. A, (B + C ) =A, B +A, C ;
7. (B + C )A, =B A, + C A, ;
8. EA, =A, E = A, (为V上的恒等变换).
证明:首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换,且保持向量加法,数乘运算不变.
,β∈V, k ∈P,
A, B (α+β) = A, (B (α+β)) = A, (B (α) +B (β)) =
A, (B (α)) +A, (B (β)) = A, B (α) +A, B (β);
A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) =
k A, B (α) .
故 A, B 是V上的线性变换,即A, B ∈L(V).
因一般映射的合成满足结合律,.
(A, (B + C ))(α) =A, ((B + C )(α))
= A, (B (α) + C (α)) = A, (B (α)) + A, (C (α))
= A, B (α) + A, C (α) = (A, B +A, C )(α) → .
7. . 8. 显然成立. □
注: 该命题有以下注意问题
三. L(V)上的数乘运算
定义3 设 k∈P, A ∈L(V), 对任意的α∈V,规定
(kA )(α) = kA (α)
称kA 为k与A 的数量乘法.
设K 是L(V)中的数乘变换(见前例6,P274例4)
→即K (α) = kα,则(kA )(α) = kA (α) = K A (α)
→即 kA = K A . 所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算. 本教材即用此定义数乘运算,两种定义方法是一致的. 如上定义2是一种定性描述,而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质,使用起来方便.
命题3 对任意的k,l∈P, A ∈L(V) kA ∈L(V), 且具有如下性质:
11. ( k l )A = k (lA ) ;
12. k(A +B ) = kA + kB ;
13. ( k+ l )A = kA + lA ;
14. (kA )B = k(A B ) ;
15. 1A = A .
证明: 仅证11. 其它性质类似可证.( kA ∈L(V)证明略)
据kA = K A 可知, ( k l )A = (K L )A = K (L A )
= k (lA ) . (其中用到乘法的结合律成立). □