文档介绍：第九章特殊随机服务系统
秩序影响服务质量
管理与人文学院忻展红
1999,4
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M/G/1 等待制,无限源,无限容量
G 表示一般独立分布,没有具体的分布函数,但知道该分布的数学期望 1/和方差2
设到达率为,平均服务时长为 h = 1/,则系统业务量为= h;同样,系统有稳态的条件是< 1
系统中逗留顾客的平均数
由于服务时长不具有马氏性,不能套用生灭方程求稳态 pj
以第 n 个顾客离去瞬间系统内顾客数表示系统状态,如图
Ln 为第 n 个顾客离开系统瞬间的系统排队队长
Yn+1 为第 n +1 个顾客服务时间内到达的顾客数
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E[Yn+1] 代表一个服务时长内到达系统的平均顾客数
E[U(Ln)] 代表系统中有顾客逗留的概率,也即服务台被占用的概率;服务台被占用的概率就是,所以有
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Ld,Lq 不但与有关,而且与2 有关
(5),(6)式以俄国数学家朴拉切克—欣钦命名
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顾客等待的概率为 D=E[U(Ln)]=,不需等待的概率为 1
平均剩余服务时间
对于负指数服务时间分布,众所周知剩余服务时间仍服从原来的分布,即 h=1/
但在M/G/1中,平均剩余服务时间 Tr 需要研究,它与顾客排队等待的时间 Wq 有关;显然, Wq分为两部分:(1)等待服务台空出的平均时间,(2)排在队中所有顾客的服务时间
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对于定长分布,=1,Tr = h/2
对于负指数分布,=2,Tr=h
对于 k 阶爱尔兰分布,=?,Tr=?
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优先权服务系统
M/G/1 非强占优先系统
设有 m 级顾客,1 级顾客为最高优先权,每级内采用FIFO
各级顾客到达率为i,波松流,各级顾客的平均服务时长都为 hi,方差为i2;系统总业务量=i hi, <1
利用上节推导出的等待服务台空出的时间 T1,可知 W1=T1/(11),递推得第 k 级顾客的平均等待时间 Wk
k 级顾客的平均等待时间与比之高级顾客的业务量有关
平均服务时间短的顾客有高优先权,可以减少总的排队时间
优先权级别不宜太多,插队现象就是增加等级,使总等待时间增加
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例1 在 M/G/1 服务系统中,有两类顾客,都是波松到达过程。第一类顾客1= 2个/秒,定长服务 h1= ;第二类顾客2= ,负指数服务 h2= ,试求:(1)不分优先权时的顾客平均等待时间;(2)非强占优先权,第一类顾客或第二类顾客优先时,各类顾客的平均等待时间。
解: 1= 2,h1= ,1=,12=0;
2= ,h2= ,2=,22=h22==
(1)不分优先权,属纯 M/G/1 系统,由 T1 公式,得
T1=(2/2)(0+)+()(+)=
Wq=T1/(1)=/(1)=
(2) 非强占优先,第一类顾客优先
W1=T1/(11 )=/(1)=
W2=T1/(11 )(112) =/(1)(1)=
非强占优先,第二类顾客优先
W2=T1/(12 )=/(1)=
W1=T1/(12 )(112) =/(1)(1)=
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M/M/n 服务系统,非强占优先权
与 M/G/1 非强占优先权系统的基本假设大多数一样,但有 n 个独立并联服务台,各级顾客的平均服务时间都是 h
各级顾客到达率为i,系统总到达率=i,总业务量=i h, < n
上节(10)式仍成立,有
令 Wq 为全体顾客的平均等待时间,Lq 为平均队长,则
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溢流通路计算
部分利用度的概念
当服务台可以为所有进入系统的顾客服务时,称为全利用度系统(Fully provided)
当服务台部分分组使用,部分公用,则称为部分利用度系统,如图所示
全利用度系统利用率最高,但不易组织
分组专用效率低,但容易组织
部分利用度系统综合两者的优点
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