集合的基数与（不）可数集合.pdf

文档介绍：§~§ 集合的基数与(不)可数集合

教学目的介绍映射, 基数, 可数集与不可数集等概念和它们的属性.
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有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学
生逐步掌握其中的技巧.


映射在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域
通常是 R n 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换
成一般的集, 可得到映射的概念.
定义 1 设 X , Y 是两个非空集合. f 是某一法则,使得按照这个法则,
每个 x ∈ X , 有唯一的 y ∈Y 与之对应, 则称 f 是从 X 到Y 的映射, 记为
f : X → Y.
当 y 与 x 对应时, 称 y 为 x 在映射 f 下的像, 记为 y = f (x). 称 X 为 f 的定
义域.
在上述定义中, 若Y 是实数集或复数集, 习惯上仍称 f 为函数.
设 A 为 X 的子集. 称Y 的子集
{y : 存在x ∈ A, 使得y = f (x)}
为 A 在映射 f 下的像, 记为 f (A). 特别地, 称 f (X ) 为 f 的值域. 设 B 是Y
的子集. 称 X 的子集
{x : f (x) ∈ B}
为集 B 在映射 f 下的原像, 记为 f −1 (B).
在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经
常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集
的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的
线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.
设 f : X → Y 是 X 到Y 的映射. 若 f (X ) = Y, 则称 f 为到上的(或满射).
若当 x1 ≠ x2 时, f (x1 ) ≠ f (x2 ), 则称 f 是一一的(或单射). 如果 f 是 X 到Y
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的一一的到上的映射, 有时我们称 f 是 X 与Y 之间的一个一一对应.
映射的逆与复合设 f 是 X 到Y 的一一的到上的映射. 则对每个 y ∈Y,
存在唯一的 x ∈ X 使得 f (x) = y. 因此我们可以定义一个Y 到 X 的映射 g
如下: 对每个 y ∈Y, 令 g(y) = x, 其中 x 是 X 中的唯一存在的满足
f (x) = y 的元. 称这样定义的映射 g 为 f 的逆映射, 记为 f −1. 显然逆映射
是反函数概念的推广. 若 f 是 X 到Y 的一一的到上的映射, 则由逆映射的
定义知道成立以下等式:
f −1 ( f (x)) = x, x ∈ X , f ( f −1 (y)) = y, y ∈Y.
设 f : X → Y 和 g :Y → Z 分别是 X 到Y 的和Y 到 Z 的映射. 令
h(x) = g( f (x)), x ∈ X.
则 h 是 X 到 Z 的映射. 称 h 为 f 与 g 的复合映射, 记为 g o f . 显然复合映
射是复合函数概念的推广. 利用复合映射的记号, (1)式可以写成
−1 −1
f o f = iX , f o f = iY .
其中iX 和iY 分别为 X 和Y 上的恒等映射.
~
设 A 是 X 的子集, f 和 f 分别是 A 到Y 的和 X 到Y 的映射. 若对每个
~ ~ ~
x ∈ A 成立 f (x) = f (x), 则称 f 是 f 在 X 上的延拓, 称 f 是 f 在 A 上的限
~
制, 记为 f = f A .
定义 2 设 A, B 是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一的到上的
映射, 则称 A 与 B 是对等的, 记为 A ~ B. 此外规定∅~∅.
A 与 B 是对等就是两个集的元素可以建立一一对应的关系.
对等关系具有如下性质:
(i). A ~A. (反身性) .
(ii).若 A ~B, 则 B ~A. (对称性).
(iii).若 A ~,B B ~,C 则 A ~C.(传递性) .
基数有时需要比较两个集合元素的多少. 对于有限集, 我们可以通
过数出每个集的元素个数比较它们的多少. 两个无限集是否可以比较元素
的多少? 初看起来, 既然无限集都有无限多个元素, 似乎两个无限集不能
比较元素的多与少. 现在我们换一种方式来来考虑这个问题. 在比较两个
有限集的元素的多少