文档介绍：应用随机过程
杜勇宏
2005年5月25日
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马尔可夫链
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马尔可夫链与转移概率
马尔可夫链的状态分类
状态空间的分解
渐近性质与平稳分布
连续时间马尔可夫链
柯尔莫哥洛夫微分方程
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马尔可夫过程的定义
设{X(t),t T }为随机过程,若对任意正整数n及t1< t2<<tn,P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0,且条件分布P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}= P{X(tn)xn|X(tn-1)=xn-1},则称{X(t),t T }为马尔可夫过程。
若t1,t2,,tn-2表示过去,tn-1表示现在,tn表示将来,马尔可夫过程表明:在已知现在状态的条件下,将来所处的状态与过去状态无关。
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马尔可夫过程的定义
马尔可夫过程通常分为三类:
(1)时间、状态都是离散的,称为马尔可夫链
(2)时间连续、状态离散的,称为连续时间马尔可夫链
(3)时间、状态都是连续的,称为马尔可夫过程
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马尔可夫链的一个应用—— 含体制变化的时间序列建模
如果人们观察宏观经济或金融时间序列足够长时期,则可以看到类似的戏剧性中断。时间序列的这种明显变化可能源于战争、金融恐慌或政府政策的显著变化。一个有吸引力的例子是墨西哥银行美元帐户的比索值对墨西哥银行美元帐户的比索值之比率(Rogers,1992)。
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墨西哥银行美元帐户的比索值对墨西哥银行美元帐户的比索值之比率,月度数据,1978—1985
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马尔可夫链的一个应用—— 含体制变化的时间序列建模
对于一个具体的时间序列过程,我们如何建模呢?一个简单的想法可能是1982年自回归的常数项发生了变化。对于1982年前的数据,我们可使用模型如
yt - μ1 = ф(yt-1 - μ1 )+εt
而1982年后的数据则可描述作
yt - μ2 = ф(yt-1 - μ2)+εt
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马尔可夫链的一个应用—— 含体制变化的时间序列建模
上面的模型看起来是对数据的一个可行描述,但作为一个时间序列模型并不令人满意。如果过去的过程发生了变化,显然它在将来也可能发生变化,所以在预测是应考虑到这一点。另外,体制的变化肯定不能视做完全可预见的、确定性事件。还有,体制变化本身是一个随机变量。因而一个完整的时间序列模型应该包括参数从μ1 到μ2 之变化的概率规律。
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马尔可夫链的一个应用—— 含体制变化的时间序列建模
上述观察表明,我们应该考虑未被观察到的随机变量s(t)的影响,s(t)表示过程在时刻t的状态或体制。如果s(t)=1,则过程处在体制1,而s(t)=2 则意味着过程处于体制2。则上面的模型可等价写作
yt - μs(t) = ф(yt-1 - μs(t) )+εt
其中描述这类离散性随机变量s(t)的最简单而有效的时间序列模型是马尔可夫链。(见hamilton,《时间序列分析》,1998)
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