文档介绍：第十讲矩阵的三角分解
一、 Gauss消元法的矩阵形式
n元线性方程组

设,设A的k阶顺序主子式为,若,可以令
并构造Frobenius矩阵

计算可得

该初等变换不改变行列式,故,若,则,又可定义
,并构造Frobenius矩阵

依此类推,进行到第(r-1)步,则可得到
(r=2,3,,n-1)
则A的r阶顺序主子式,若,则可定义,并构造Frobenius矩阵

(r=2,3,,n-1)
直到第(n-1)步,得到
则完成了消元的过程
而消元法能进行下去的条件是(r=1,2,,n-1)
二、 LU分解与LDU分解
容易求出
为下三角矩阵
令为上三角矩阵,则
(L: lower U: upper L: left R: right)
以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积,就称为LU分解或LR分解。
两个三角方程回代即可
LU分解不唯一,显然,令D为对角元素不为零的n阶对角阵,则
可以采用如下的方法将分解完全确定,即要求
L为单位下三角矩阵
U为单位上三角矩阵
将A分解为LDU,其中L、U分别为单位下三角、单位上三角矩
阵,D为对角阵D=diag[],而(k=1,2,…n),
。
n阶非奇异矩阵A有三角分解LU或LDU的冲要条件是A的顺序主子式(r=1,2,,n)
n个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的,特别是在数值计算中,很小时可能会带来大的计算误差。因此,有必要采取选主元的消元方法,这可以是列主元(在,,…中选取模最大者作为新的)、行主元(在,,…中选取模最大者作为新的)全主元(在所有()中选模最大者作为新的)。之所以这样做,其理论基础在于对于任何可逆矩阵A,存在置换矩阵P使得PA的所有顺序主子式全不为零。
列主元素法:在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素,选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步:找第一个未知数前的系数最大的一个,将其所在的方程作为第一个方程,即交换矩阵的两行,自由项也相应变换;第二步变换时,找中最大的一个,然后按照第一步的方法继续。
行主元素法:在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素,选取范围为对角线元素以后的各元素,需要记住未知