文档介绍：作者:王幼宁
第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
方式,按照微积分学的一般观点,可以选择两种直观的出发点来考虑曲面
的弯曲:一者是调查曲面与其切平面在切点附近的近似程度,一者是研究
,一者需要考察切向微
元的微分,也就是位置向量的二次微分;而另一者需要考察单位法向的微
,并导致相关基本概念的
合理引进;其次要研究所衍生出的刻画弯曲的几何量——
章的学习过程中,除几何直观以外,应该注意体会所用方法的一般性.
§1 曲面的第二基本形式
对正则曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2 ,在上一章中已经知道如何了解
一些基本情况,诸如位置向量的微分 dr = ru du + rv dv 、第一基本形式Ⅰ=
r ×r
ds2 = dr•dr = E du2 + 2F dudv + G dv2 、单位法向 n = u v
|ru×rv|
道,dr•n = 0 ,dn•n = 0 ,即微分 dn = nu du + nv dv
,可见下述一般讨论
是极其自然的.
在曲面 S 上考虑点 P: r(u, v) 处的
切平面 TP S
点 P*: r(u+du, v+dv) ,则点 P* 到切平Δr
面 TP 的有向距离为 P δ
δ= Δr•n = [r(u+du, v+dv) − r(u, v)]•n . TP
而由 Taylor 展开式,可写图 4-1
1 2 2 2
Δr = dr + 2 d r + o(du +dv )
1
2 2 2 2 ;
= (ru du + rv dv) + 2 ( ruu du + 2ruv dudv + rvv dv ) + o(du +dv )
1 2 2 2
δ= 2 d r•n + o(du +dv )
- 1 -
作者:王幼宁
1 1
2 2 2 .
≈ 2 d r•n = 2 ( ruu•n du + 2ruv•n dudv + rvv•n dv )
而 0 = d(dr•n) = d2r•n + dr•dn ,故又有
−1 2 2
δ= 2 dr•dn + o(du +dv )
−1 −1
2 2 ,
≈ 2 dr•dn = 2 [ru•nu du + (ru•nv + rv•nu) dudv + rv•nv dv )
其中 ru•nv = − ruv•n = − rvu•n = rv•nu .
定义 1 对正则曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2 ,称二次微分式
() Ⅱ= −dr•dn = d2r•n = L du2 + 2M dudv + N dv2
为曲面 S 的第二基本形式,其系数 L, M, N 也称为曲面的第二基本量;称
L M
矩阵⎛⎞为曲面在参数