文档介绍：第三章曲面的第一基本形式
§3 曲面的第一基本形式
在指定的曲面上,测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量,,勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则,,曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定,这是一种直观的自然方式;子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性,将在这种方式之下自然地联系在一起,;而关于其他方式之下的讨论,将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行.
本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r(u, v) , (u, v)ÎUÌR2 .
首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素.
v R2 E3
U r v线 u¢ru+v¢rv
(u¢, v¢) r(u, v)
C-1 u线 C
(u, v) S
O u
图3-13
设 C: r = r(u(t), v(t)) , tÎ[a, b] 是 S U 上的参数方程, tÎ[a, b] 表示曲线 C ;但要注意区分该表示式的双重含义:既表示平面区域 U 上的一条参数曲线 C-1 ,同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C .为了区别不同的所在场合,当表示曲线 C 时往往强调“在曲面 S 上”.对曲线 C 而言,有
dr = ru du + rv dv = ru dt + rv dt ,
= ,
ds2 = dr·dr = (ru·ru) du2 + 2(ru·rv) dudv + (rv·rv) dv2
= · dt2 = [ |ru|2 + 2(ru·rv) + |rv|2 ]dt2 .
按照经常通用的记号,记曲面上的量
() E = E(u, v) = ru·ru = |ru|2 , F = F(u, v) = ru·rv , G = G(u, v) = rv·rv = |rv|2 ,
则进一步对曲线 C 有
ds2 = dr·dr = [E(u, v) du2 + 2F(u, v) dudv + G(u, v) dv2 ]| u=u(t), v=v(t)
= [E + 2F + G ]dt2 ,
此时取
ds = dt = dt ,
则有
s(b) - s(a) = ò dt = ò dt
= ò dt .
由此可见,使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量,就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度;至于曲面及其上的曲线的位置向量如何,,将在进行进一步抽象之后,.
定义1 对正则曲面 S: r = r(u, v) , (u, v)ÎUÌR2 ,称二次微分式
() Ⅰ= ds2 = E(u, v) du2 + 2F(u, v) dudv + G(u, v) dv2
为曲面 S 的第一基本形式,或称线素,其中系数由() 式给出.
注记: 曲面的第一基本形式系数也称为