文档介绍：§ 列满秩矩阵
可逆矩阵要比一般矩阵更容易处
理,.这是因为有逆的帮助比如当方程组
AAxb= 的系数矩阵可逆是立即得出
方程组的解为x = A−1β.
本节将讨论可逆矩阵的一种推广---列或
阵有许多相似的性质.
一个矩阵A称为左(右)可逆矩阵,如果
有矩阵B使得BA=I (AB=I);此时称B为A
的一个左(右)逆.
从定义立即可知,一个左可逆的mn×
矩阵的每个左逆必为右可逆的nm× 矩阵.
⎛⎞0rr×
⎜⎟
例如,(设AI==r 0),B⎜⎟,则有
⎝⎠⎜ X ⎟
AB = I.,于是 A是一个右可逆矩阵,B是A的
,故有无穷多个
.
设Gm是×r矩阵,则下列陈述等价:
1. G为列满秩矩阵;
2. Gr有一个阶非奇异子块;
⎛⎞Ir
⎜⎟
3. G行等价于⎜⎟;
⎝⎠⎜ 0 ⎟
4. 有矩阵HG(必为列满秩矩阵)使得( H)是一
个可逆矩阵;
5. 有矩阵KK(必为行满秩)矩阵使得 G= I,即,
G左可逆.
证明(1) ⇔(2) 由秩数的定义即得.
(2) ⇒(3) 通过初等行变换可将Gr的阶子块
⎛⎞A
⎜⎟
换到最上方,即有可逆矩阵PP使得 G= ⎜⎟,其中
⎝⎠⎜B ⎟
⎛⎞−1
⎜ A 0 ⎟
Ar是一个阶非奇异矩阵.,令Q= ⎜⎟
⎜−1 ⎟
⎝⎠⎜−BA Imr−⎟
⎛⎞Ir
⎜⎟
则可QQ逆,,从而P可逆而且(QP)A= ⎜⎟.
⎝⎠⎜ 0 ⎟
⎛⎞Ir
⎜⎟
(3) ⇒(4) 设PP是可逆矩阵使得 G= ⎜⎟,
⎝⎠⎜ 0 ⎟
⎛⎞Ir ⎛0 ⎞
−−11⎜⎜⎟⎟
即令GP==⎜⎜⎟⎟.,HP 则易知H
⎝⎠⎜⎜0 ⎟⎟⎝Imr−⎠
是列满秩矩阵,且有
⎛⎞Ir 0
⎜⎟
PG()H ==(PG PH)⎜⎟= Im .
⎝⎠⎜ 0 Imr−⎟
因为()GH是m阶方阵,故(GH)是一个可逆矩阵.
(4) ⇒(5) 将(GH)−1按行分块为
⎛⎞K
−1 ⎜⎟
(GH) = ⎜⎟,
⎝⎠⎜ L ⎟
则
⎛⎞KK⎛GKH⎞
⎜⎜⎟⎟
IGm = ⎜⎜⎜⎟⎟()H= ⎜,
⎝⎠⎜⎜LL⎟⎟⎝GLH⎠
从而KG ==Ir .,由于r 秩KG ≤≤秩K r
从而必有秩Kr= ,.即K是行满秩矩阵
(5) ⇒(1) 由可KG = Ir 得,
rK= 秩秩G≤≤Gr,
故秩Gr= ,.即G是列满秩矩阵
设GH, 分别是列和行满秩矩阵,
则秩GA ==秩AH 秩A.
证明因为G是列满秩矩阵,故有矩阵
KK使得 G= I,从而
秩秩A ==IA 秩KGA ≤≤秩GA 秩A,
于是,.秩GA = 秩A 行满秩矩阵的结论类似.
每个非零矩阵A都可分解为一
个列满秩和一个行满秩矩阵之积,且对于任
意两个这样的分解AG==11H G2H2,必有
−1
可逆矩阵PG使得 P==G11,,PHH且
有秩GH==秩秩A.
证明设秩Ar= ,,有
可逆矩阵PQ, 使得
⎛⎞IIrr0 ⎛⎞
⎜⎜⎟⎟
AP==⎜⎜⎟⎟QP (0Ir )Q.
⎝⎠⎜⎜00⎟⎟⎝0⎠
⎛⎞Ir
⎜⎟
令则GP==⎜⎟,(H Ir 0)Q,A=GK,
⎝⎠⎜ 0 ⎟
且易知GH,,的秩数均为r从而分别为列满秩
和行满秩矩阵.
设其AG==11H G2H2,,中GiiH(i=1,2)
分别是列满秩和行满秩矩阵,,它
阵使KL,.得KG11==HL I于是
KG22H L ==KG1H1L Ir .
注意到KG22和H L都是r阶方阵,则可知它们
−1
==G22,.则P HL于
是,用LG右乘等式 11H= G2H2两端可得
−1
GG12==P,.即G1PG2用K左乘等式
GH11==G2H2两端可得H1 PH2,即
−1
PH12= H.