文档介绍：§ 矩阵的秩
上一节我们定义了向量组的秩,如果把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样,如果把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。
所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的
向量组的秩,矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。
求矩阵
的行秩和列秩。
解:A的行向量组是:
其极大线性无关组是:
故A的行秩为3。
又A的列向量为
则列向量组的极大线性无关组为
故A的列秩也是3。
问:矩阵A的行秩是否等于列秩?
为了解决这个问题,先把矩阵的行秩与齐次线性方程组的解联系起来。
引理:如果齐次线性方程组
()
的系数矩阵
的行秩r<n,那么它有非零解。
证明:用
表示矩阵A的行向量。由于其秩为r,
故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设
一个极大无关组(否则可以调换向量的位置使之位于前r行,这相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解)。由于向量组
与
是等价的,故原方程组与
()
是同解的。由于方程组()中方程的个数小于未知量的个数,故()从而()有非零解。
是它的
以下方程组
矩阵的行秩与列秩相等。
证明:设所讨论的矩阵为
而A的行
秩为r,列秩为s。(要证r=s,先证
,再证
)。
用
表示矩阵A的行向量组,由于行秩为r,不妨设
是它的一个极大线性无关组。因为
线性无关,
故方程组
只有零解。
此即齐次线性方程组
只有零解。
由引理知,这个方程组的系数矩阵
的行秩
因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量,
不妨设向量组
由上一节的性质5知,其延长向量组:
线性无关。
也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性无关,故知A的列秩
同理可证:
,因此有r=s。
由于矩阵的行秩等于列秩,因而统称为矩阵的秩。
下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。

矩阵
的行列式为零的
充要条件是A的秩小于n。
证:充分性显然:
设A的秩=r<n。用
表示A的列向量组。不妨设
是列向量组的极大无关组。
设
考虑A的行列式
必要性:
若
,我们对n用归纳法证明。
当n=1时,由
知A仅有一个元素就是0,故A的秩为0<1。
假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用
表示A的列向量。查看A的第一列元素,若它们全
为零,则A的列向量组中含有零向量,其秩当然小于n;若这n个元素有一个不为0,不妨设
,则从第二列直到n列
分别加上第一列的倍数
这样,在把
消为零的过程中,行列式
化为
其中
由于
,故n-1阶矩阵
由归纳假设知,这个矩阵的列向量线性相关,
从而向量组
也线性相关,
即存在不全为零的数
,使
整理得
因此
线性相关,它的秩小于n。
推论: 齐次线性方程组
,有非零
解的充要条件是它的系数矩阵
的行列式为0。
结论的必要性由Gramer法则立得,。
再考虑一般
矩阵的秩与行列式的关系。